28.2 解直角三角形及其应用-2023-2024学年九年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

28.2 解直角三角形及其应用 考点一、解直角三角形 1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做__解直角三角形__. ⑴三边之间的关系：a2+b2=c2． ⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA=,cosA=． tanA= 考点二、解直角三角形在实际问题中的应用 (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. （2）坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. (3)仰角、俯角： 视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (4)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 题型一：解直角三角形 1．（2023上·河南新乡·九年级统考期中）如图，在菱形中，，，，则的值是(    ) A． B．2 C． D． 2．（2023上·山东聊城·九年级统考期中）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，且． (1)求的长． (2)若，求的值． 题型二：解非直角三角形 4．（2023上·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 5．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 6．（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 题型三：构造直角三角形求边长或面积 7．（2021上·湖南株洲·九年级统考期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 8．（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （    ）    A．15 B．18 C．20 D．22 9．（2022上·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 题型四：仰角俯角问题 10．（2023上·山东威海·九年级统考期中）如图，小明在M处用高（即）的测角仪测得旗杆顶端B的仰角为，将测角仪沿旗杆方向前进到N处，测得旗杆顶端B的仰角为，则旗杆的高度为（  ） A． B． C． D． 11．（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）如图，热气球在A处测得一栋楼的楼顶端B的仰角，楼底部C的俯角，若点A到这栋楼的距离米，则这栋楼的高度为（   ）（结果精确到米；参考数据：）    A．米 B．米 C．米 D．米 12．（2023·山东日照·统考中考真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（    ）（结果精确到，参考数据：，）      A． B． C． D． 题型五：方向角问题 13．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）一艘游轮从小岛正南方向的点处向西航行海里到达点处，然后沿北偏西方向航行海里到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 14．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（   ）（参考数据：）    A．1600m B．1300m C．980m D．900m 15．（202