4.3.1等比数列的概念课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念及通项公式 人教A版（2019） 选择性必修第二册 请看下面几个问题中的数列. 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: ① ② ③ 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 ④ ． ． 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 ⑤ 4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他 5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ ． ． 探究 类比等差数列，你发现了什么规律？ 一、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )． 例. 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． (1) 3，9，15，21，27，33； (4)1，1.1，1.21，1.331，1.4641； (3) ， ， ， ， ， ； (2) 4，-8，16，-32，-128.     类比等差中项的定义，你能说出等比中项的定义吗？ 二、等比中项 概念辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若数列那么是等比数列. ( ) (2)数列 中，已知 ， ，那么是等比数列. ( ) (3)常数列 一定为等比数列. ( ) (4)任意两个非零常数都有等比中项. ( ) 成等比数列的充要条件. ( ) × × × × × （2） 即等比数列的每一项都不为0 （1） 即等比数列的公比不为0 （3） 的等比数列为非零常数数列 （4）每项都不为零的常数列即是等差数列，也是等比数列 （5）同号的两个数才有等比中项 应用探究 练习3 若a，2a＋2，3a＋3 成等比数列，求实数 a 的值． 练习1(1)4与9的等比中项是______ (2)-1，2，x，8，-16成等比数列，则x=______ 6或-6 -4 练习2 注：等比数列相隔的两项符号一定相同 B a=-4 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 三、等比数列通项公式 例3 探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪 类函数建立相似的关系？ 等比数列 的第 项 是函数 当 时的函数值，即 ． 例1 已知等比数列 {an} ，若 a1＋a2＋a3 = 7，a1 a2 a3 = 8，求 an . 解得 或 当 a1 = 1 时，q = 2；当 a1 = 4 时， 故 an = 2n－1 或 an = 23－n . 法一：由等比数列的定义知 a2 = a1q ，a3 = a1q2 ， 代入已知得 法二： 从而 解之得 a1 = 1， a3 = 4 或 a1 = 4 ， a3 =1. 当 a1 = 1 时， q = 2；当 a1 = 4 时， 故an = 2n－1 或 an = 23－n . 例1 已知等比数列 {an} ，若 a1＋a2＋a3 = 7，a1 a2 a3 = 8，求 an . 例2.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且 a1＋13, 4a2， a3＋9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.   练习   练习　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值； (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列. 证明　因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4， Sn－Sn－1＝(2an＋