3.1.1椭圆及其标准方程第一课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆 椭圆 抛物线 双曲线 圆锥曲线 第三章 圆锥曲线的方程 几何特征 代数方程 直线 定点、定方向 圆 定点、定长 坐标法 复习旧知 01 《直线与圆的方程》中我们学习了： k存在时 动手实验，认识椭圆 02 01 实验：取一条定长的细绳，若把细绳两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出来的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端点拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1、F2(定点)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖（动点），画出的轨迹是什么曲线？ 问题：怎样画出椭圆？ 动手实验，认识椭圆 02 壹 “操作过程中套上铅笔，拉紧绳子”意味着什么？ 贰 笔尖移动过程中满足的几何条件是什么？ 叁 画出来的这样的图象有什么共同特点？ 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 动画演示 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是： 移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即 图钉不动 两个定点 笔尖滑动 一个动点 绳长不变 距离之和不变 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 1. 椭圆的定义: 思考 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？ ① 在平面内----(这是前提条件)； ② 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数； 动点M的轨迹是线段F1F2 ； 动点M没有轨迹 . F1 F2 M • • ③ 求椭圆的方程 如何建立平面直角坐标系可能使得椭圆方程方程简单? 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”) . . O x y . . O x y O x y O x y 03 取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 由椭圆的定义得，限制条件： 建 设 设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0),M与 F1和F2 的距离的和等于正常数2a(2a>2c),则 F1、F2 的坐标分别是(-c，0)、(c，0) 因为 所以 求椭圆的方程 03 限 代 化 1 2 y O F F M x 几何条件代数化 (x,y) 方法一：移项平方法 移项，再平方 两边再平方，得 整理得 两边除以a2(a2-c2)得 求椭圆的方程 03 (1) 等价变形 方法二：平方差法 所以 所以 上式平方再化简得 因为 求椭圆的方程 03 (1) 1 2 y O F F M x 代数式的几何意义 问题：观察右图，你能从中找出表示 的线段吗？ 令 ，则（2）式可化为： O x y F1 F2 P 求椭圆的方程 03 (1) a b c 代数量a,b,c的几何意义：直角三角形OPF2三边长。满足c2=a2-b2 从上述过程可以看到，椭圆上任一点的坐标都满足方程（2） 方程（2）的解对应坐标的点都在椭圆上。 则方程（2）为椭圆的标准方程。 求椭圆的方程 03 1 2 y O F F M x F1 F2 P • • x y O c a b 思考1 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？ 它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(－c,0), F2(c,0)， 中心在坐标原点的椭圆方程 ,其中c2＝a2－b2 . 如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 02 03 01 也是椭圆的标准方程. 求椭圆的方程 03 1 O F y x 2 F 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆； 方程的左边是平方和，右边是 1 . 不同点：焦点在 x 轴的椭圆 x2 项分母较大. 焦点在 y 轴的椭圆 y2 项分母较大. 图 形 方 程 焦 点 F1(-c,0) F2(c,0) F1(0,-c) F2(0,c) a,b,c之间的关系 |MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2| (2a>2c>0) 定 义 1 2 y O F F M x 1 O F y x 2 F M 知识小结 04 例题讲解 05 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0)，并且经过点 ，求它的标准方程。 条件 几何角度 代数角度