2024届高三艺术生数学一轮复习-复数讲义

第三章、复数 一、复数的有关概念 (1)复数的表示：，：复数的实部；：复数的虚部；i：虚数单位，规定：i2= -1. (2)复数的分类：若，则复数为实数；若，则复数为虚数；若，则复数为纯虚数. (3)复数相等：若，则. (4)共轭复数：若与互为共轭复数，则.记作. (5)复数的模：若，则复数的模为. (6)复数的几何意义：与复平面上的点一一对应；与向量一一对应. 二．复数代数形式的四则运算 (1)设，，则 ， ， ， . (2)几个常见的复数运算的技巧： ； ； ； 一、复数的四则运算 【例1】若，则=（ ） A．1 B． C． D． 【解析】． 【变式探究1】 （1）设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（　　） A． B． C． D． （2） 复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝(　　) A．－2－2i B．－2＋2i C．2－2i D．2＋2i （3）若复数为纯虚数，则的值为（　　） A．1 B．－1 C．i D．－i 二、复数的概念 【例2】若复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则的实部为（　　） A． B． C． D． 【解析】根据为纯虚数，可得，解得， 则，所以其实部是，故选C． 【变式探究2】 （1）设是虚数单位，复数，则复数的共轭复数为(　　) A． B． 　C． D． （2）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 三、复数的几何意义 【例3】已知复数的实部与虚部之和为4，则复数z在复平面上对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】由已知复数=(2-ai)（1+2i）=2+2a+(4﹣a)i，因为实部与虚部之和为4，所以6+a=4，即a=﹣2，则z=﹣2+6i，所以z在复平面上对应的点在第二象限；故选B 【变式探究3】 （1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （3）已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝_______. 四、复数相等 【例4】设，其中x，y是实数，则（ ） A．1 B． C． D. 2 【解析】根据复数相等的结论知：因为，所以x=y=1，所以，故选B 【变式探究4】 （1）设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________． （2）已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi，则a + bi= ________． 习题： 第三章、复数 1. （2022·全国甲（理））若，则（ ） A. B. C. D. 2.（2022·全国甲（文）） 若．则（ ） A. B. C. D. 3.（2022·全国乙（文））设，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 4.（2022·全国乙（理））已知，且，其中a，b为实数，则（ ） A. B. C. D. 5.（2022·新高考1卷）若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6.（2022·新高考2卷）（ ） A. B. C. D. 7.（2022·北京卷T2） 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 8.（2022·浙江卷T2）已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 9．（2021年全国乙卷（文））设，则（ ） A． B． C． D． 10．（2021年高考乙卷（理））设，则（ ） A． B． C． D． 11．（2021年全国甲卷（理））已知，则（ ） A． B． C． D． 12．（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知，则（ ） A． B． C． D． 13．（2020•北京卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B. C. D. 14.（2020•全国1卷）若z＝1＋i，则|z2–2z|＝（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 15.（2020•全国2卷）设复数