专题10 导数及其应用（难点）-2023-2024学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019选择性必修第一册，江苏专用）

专题10 导数及其应用（难点） 一、单选题 1．已知方程在上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数.（为自然对数的底数），.若存在实数，使得，且，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在单调递减 B．当时，在处的切线为轴 C．当时，在存在唯一极小值点，且 D．对任意，在一定存在零点 6．已知函数，下列结论正确的个数是（　　） ①曲线上存在垂直于轴的切线； ②函数有四个零点； ③函数有三个极值点； ④方程有四个根． A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，数列有界 B．当时，数列有界 C．当时，数列有界 D．当时，数列有界 二、多选题 9．已知函数，则（    ）． A． B．若有两个不相等的实根，则 C． D．若，均为正数，则 10．已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设函数，则下列判断正确的是（　　） A．存在两个极值点 B．当时，存在两个零点 C．当时，存在一个零点 D．若有两个零点，则 12．已知，，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上的最大值为3 B． C．函数的极值点有2个 D．函数存在唯一零点 三、填空题 13．若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对，都有，则有如下性质：．其中，，，， .若，则在锐角中，根据上述性质推断：的最大值为 . 14．已知函数的图象关于点中心对称，若，，使得，则的最大值是 ． 15．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为 . 16．已知定义域为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是 ． 四、解答题 17．已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)设函数，若恒成立，求的最小值. 18．已知函数，满足是奇函数，且不存在实数使得． (1)求； (2)若方程恰有两个实根，求实数的范围并证明． 19．已知函数. (1)若，求证：当时，； (2)讨论函数在区间上的零点个数. 20．已知函数（）. (1)证明：； (2)若正项数列满足，且，记的前项和为，证明：（）. 21．已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，证明：. 22．已知 (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实根、，且，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 导数及其应用（难点） 一、单选题 1．已知方程在上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件将方程解的个数等价转化成两个函数与图象交点个数，再借助导数即可推理作答. 【解析】作出函数与的图象，如图，当时，两个函数图象至多有两个公共点， 而方程在上恰有3个不等实数根，则， 当时，方程在上只有一个实根， 方程在上恰有3个不等实数根，等价于方程在上恰有2个不等实数根， 即函数在上恰有2个零点， ，，当时，，则在上单调递增，在上最多一个零点， 于是有，当时，，当时，，即有在上递减，在上递增， 因此，，且在上的两个零点分别在区间与内 从而有，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 2．已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数有零点转化为方程恒有解，换元后化为方程恒有解，令，利用导数求出函数的最大值，即可求解. 【解析】令 得：， 令，则， ， 即， ， 令， 则， 由恒成立知， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 时，， 时方程恒有根， 即， 故选：D 3．若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围. 【解析】由不等式恒成