专题04 一元函数的导数及其应用（难点）-2023-2024学年高二数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第二册，浙江专用）

专题04 一元函数的导数及其应用（难点） 一、单选题 1．已知函数，若的图象在点处切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 2．方程-lnx -2=0的根的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，为的导函数，，，若为偶函数，则以下四个命题：①；；③；④中一定成立的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．对于数列，定义：（），称数列是的“倒和数列”．下列命题正确的是（    ） A．若数列的通项为：，则数列的最小值为2 B．若数列的通项为：，则数列不是单调递增数列 C．若数列的通项为：，则时数列单调递减 D．若数列的通项为：，则 8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（其中e为自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 10．已知是上的可导函数，且对于任意恒成立，则下列不等关系正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则方程在上有5个不同的解 B．当时，函数在上单调递减 C．当时，函数在上有2个零点 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 12．已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．的取值范围为 C．当时，的取值范围为 D．当时，的取值范围为 三、填空题 13．设函数，若任意两个不相等正数，都有恒成立，则的取值范围是 . 14．已知函数，为的导函数，则 ． 15．已知函数在区间上有零点，则的最小值为 . 16．已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，则的取值范围是 . 四、证明题 17．已知函数． (1)判断函数的单调性． (2)若有两个不相等的实根，且，求证：． 18．已知函数. (1)若，求证：； (2)若函数在处取得极大值，求的取值范围. 19．已知函数（，为自然对数的底数）. (1)当时，判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．已知函数． (1)求在的单调区间与最值； (2)当时，若，证明：有且仅有两个零点． 21．已知函数的导函数为，且曲线在点处的切线方程为. (1)证明：当时，； (2)设有两个极值点.，过点和的直线的斜率为k，证明：. 22．已知函数． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个极值点，，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元函数的导数及其应用（难点） 一、单选题 1．已知函数，若的图象在点处切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可求得、的值，即可求得结果. 【解析】因为，则，， 又，． 故选：D. 2．方程-lnx -2=0的根的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令，利用导函数研究函数的单调性可知函数的单调区间，然后结合零点存在定理确定方程根的个数即可. 【解析】令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 且：，， ， 结合函数零点存在定理可知函数在上存在一个零点，在区间上存在一个零点， 方程-lnx -2=0的根的个数为2. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将原函数的零点转化为方程的根，令，转化为，再令，得到使时的根的个数，再分类讨论的范围与根的关系，结合函数与方程性质及零点的关系即可得. 【解析】令，得，整理得， 令，原方程化为， 设， 则， 令，解得，且， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则在时，有最大值为， 则当时，有一个解， 当时，有两个解， 当时，有一个解， 当时，无解， 因为原方程为， 由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设， 则有，， 若，则，故舍去， 若，则，， 有，即有，，代入得，矛盾，故舍去， 若则，， ， 设，则，得到， 所以. 故选：D. 4．设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画