4.2.4 随机变量的数字特征（第2课时） 离散型随机变量的方差（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第二册）

2023-2024学年高二数学同步精品课堂 4.2.4 随机变量的数字特征 第2课时 离散型随机变量的方差 第三章 排列、组合和二项式定理 高二选择性必修第二册（2019人教B版） 01 学习目标 01 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.（重点） 3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.（难点） 核心素养：数学建模、逻辑推理、数学运算 02 新知导入 【情境与问题】 02 新知导入 在一次选拔赛中，甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，概率分布如下：射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2，0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.4.如果你是教练，如何比较两名射手的射击水平，选拔谁呢？通过本节课的学习，我们就会得到答案. 03 新知探索 一、离散型随机变量的方差 【解析】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44. E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. 它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工质量. 可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性. 一、离散型随机变量的方差 2.离散型随机变量的方差 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示 一、离散型随机变量的方差 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 因为X的均值为E(X)，所以D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn －E(X)]2pn＝______________，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波 动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示. 2.离散型随机变量的标准差 一般地，_______称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度 (或波动大小). 一、离散型随机变量的方差 注意： (1)离散型随机变量方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同. 一、离散型随机变量的方差 一、离散型随机变量的方差 【解析】E(ξ)＝0.1×0＋0.2×1＋0.3×2＋0.4×3＝2， 所以D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1， 一、离散型随机变量的方差 【总结】求离散型随机变量的方差的方法 (1)根据题目条件先求分布列. (2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差. 一、离散型随机变量的方差 一、离散型随机变量的方差 二、两点分布与二项分布的方差 二、两点分布与二项分布的方差 【答案】（1）用X表示命中次数，则X＝0,1. X服从两点分布，且P(X＝0)＝0. 2， P(X＝1)＝0. 8， 所以D(X)＝p(1－p)＝0. 8×(1－0. 8)＝0. 1 6. 二、两点分布与二项分布的方差 二、两点分布与二项分布的方差 【总结】两点分布与二项分布方差的计算步骤 (1)判断：判断随机变量服从什么分布. (2)计算：直接代入相应的公式求解方差. 二、两点分布与二项分布的方差 二、两点分布与二项分布的方差 三、方差的性质 【问题】若随机变量X的方差为D(X)，Y＝aX＋b(a，b为常数，且a≠0)，你能推导出D(X)与D(Y)的关系吗？ 【详解】E(Y)＝aE(X)＋b，∴D(Y)＝D(aX＋b)＝[ax1＋b－aE(X)－b]2p1＋[ax2＋b－aE(X)－b]2p2＋…＋[axn＋b－aE(X)－b]2pn＝[ax1－aE(X)]2p1＋[ax2－aE(X)]2p2＋…＋[axn－aE(X)]2pn＝a2D(X). 三、方差的性质 方差的性质 a2D(X) 三、方差的性质 三、方差的性质 三、方差的性质 【总结】(1)求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 ①先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差. ②应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解. (2)均值、方差在决策中的作用 ①均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. ②方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. ③在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 三、方差的性质 三、方差的性质 04 课堂练习 四 课堂练习 四 课堂练习 四 课堂练习 四 课堂练习 四 课堂练习 四 课堂练习 四 课堂练习 四