期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）

期末真题必刷压轴60题（22个考点专练） 一．等差数列的性质（共1小题） 1．（2022秋•宝山区校级期末）等差数列{an}的通项是an＝3n﹣1，等比数列{bn}满足b1＝ap，b2＝aq，其中q＞p≥1，且n、p、q均为正整数．有关数列{bn}，有如下四个命题： ①存在p、q，使得数列{bn}的所有项均在数列{an}中； ②存在p、q，使得数列{bn}仅有有限项（至少1项）不在数列{an}中； ③存在p、q，使得数列{bn}的某一项的值为2023； ④存在p、q，使得数列{bn}的前若干项的和为2023． 其中正确的命题个数是（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二．数列的应用（共9小题） （多选）2．（2022秋•荆州期末）2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为bn，则（　　） A．b7＝21 B．b1+b2+b3+b5+b7＝51 C．b12+b22+…+bn2＝bn•bn+1﹣1 D．bn﹣2+bn+2＝3bn 3．（2022秋•梁园区校级期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，且．若λ（Sn﹣an）+λ+5≥（2﹣λ）n对∀n∈N*都成立，则实数λ的最小值为 　 　． 4．（2022秋•魏县校级期末）已知项数为m的有限数列{an}（m∈N，m≥2）是1，2，3，…，m的一个排列．若|a1﹣a2|≤|a2﹣a3|≤…≤|am﹣1﹣am|，且＝m+2，则所有可能的m值之和为 　 　． 5．（2022秋•宝山区校级期末）已知数列{an}的通项公式是an＝2n﹣1，数列{bn}是等差数列，令集合A＝{a1，a2，…，an，…}，B＝{b1，b2，…，bn，…}（n∈N*），将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}． （1）若cn＝n（n∈N*），写出一个符合条件的{bn}的通项公式，并说明理由； （2）若bn＝，且数列{dn}在n∈N*上严格单调递增，求实数λ的取值范围； （3）若A∩B＝∅，数列{cn}的前5项成等比数列，且c1＝1，c9＝8，试求出所有满足条件的数列{bn}． 6．（2021秋•宝山区校级期末）设正整数数列A：a1，a2，…，aN（N＞3）满足ai＜aj，其中1≤i＜j≤N．如果存在k∈{2，3，…，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”． （Ⅰ）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？ （Ⅱ）若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，…，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2，3，…，N}． （Ⅲ）如果aN≤2019，且对于任意k∈{2，3，…，N}，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值． 7．（2021秋•海淀区校级期末）对于无穷数列{an}，{bn}，若bk＝max{a1，a2，⋯，ak}﹣min{a1，a2，⋯，ak}（k＝1，2，3，⋯），则称{bn}是{an}的“伴随数列”．其中，max{a1，a2，⋯，ak}，min{a1，a2，⋯，ak}分别表示a1，a2，⋯，ak中的最大数和最小数． 已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是{an}的“伴随数列”． （Ⅰ）若an＝n+2022，求{bn}的前n项和； （Ⅱ）证明：b1＝0且bn+1≥bn； （Ⅲ）若，求所有满足该条件的{an}． 8．（2021秋•西城区校级期末）如果无穷项的数列{an}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ak＝ai•aj”，则称数列{an}具有“性质P”． （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝3，判断数列{an}是否具有“性质P”，并说明理由； （Ⅱ）若等差数列{an}具有“性质P”，a1为首项，d为公差．求证：a1≥0且d≥0； （Ⅲ）若等比数列{an}具有“性质P”，公比为正整数，且216，315，414，615这四个数中恰有两个出现在{an}中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 9．（2022秋•鼓楼区校级期末）某林场去年底森林木材储存量为100万m3，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万m3木材，记an为第n年年底的木材储存量． （1）写出a1，a2；写出数列{an}的递推公式； （2）为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少？（精确到0.1万m3） 参考数据：1.29＝5.16，1.210＝6.19． 10．（2022秋•梅州期末）市民小张