28.2.2.3 解直角三角形应用举例（方位角、坡度应用）导学案 2022--2023学年人教版九年级数学下册

28.2.2.3解直角三角形应用举例（方位角、坡度应用）导学案 学习目标： 1.了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角。 2.逐步培养分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。 3.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题。 学习重点： 用三角函数有关知识解决方位角问题。 学习难点： 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学问题。 一、温故知新 1.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90度的水平角，叫做方位角。如下图中的目标方向线OA、OC、OD的方向角分别表示北偏东 ，南偏西 ，北偏西 ，方向线OB表示南偏东 ，即东南方向。 2.在下面的方位图上画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度方向、南偏东34度方向的射线。 二、合作探究1： 例1：如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34∘方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(精确到1海里,参考数据：cos25∘≈0.91,sin25∘≈0.42,tan25∘≈0.47,sin34∘≈0.56,cos34∘≈0.83,tan34∘≈0.67  1.自主探究： 结合题目的条件，你能确定图中哪些已知线段和角？求什么？怎样求？ 2.合作交流： 你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？ 3.总结： 通过方位角，体会到解直角三角形在三维空间中的应用。把实际问题数学模型化，在解题过程中需要注意的就是解题步骤的规范化。 三、巩固训练2： 1.已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ） A.南偏东50° B.南偏东40° C.北偏东50° D.北偏东40° 2.一某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇。济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？ 四、合作探究2： 自主探究： 阅读：我们把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用表示，常写成(或写成)的形式，我们把坡面与水平面的夹角叫做坡角。 坡度与坡角a之间关系: 问题：(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度= 。 (2)已知一段坡面上，铅直高度为，坡面长为，则坡度= ，坡角= 。 例2：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，。斜面坡度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度是指DE与CE的比，根据图中数据，求： （1）坡角和的度数； （2）斜坡AB的长(结果保留小数点后一位)。 五、巩固训练 1.斜坡的坡度是，则坡角 = 度；斜坡的坡角是45°，则坡比是 ；斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______。 2.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角(精确到 1°)； (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m)。 六、归纳小结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。 七、当堂检测 1.如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上。小岛A到航线BC的距离是________n mile。(≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1) 2.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55∘方向,距离灯塔2海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB长是( )海里。 A.2 B.2sin55∘ C.2cos55∘ D.2tan55∘ 3.轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔p的距离（结果可保留根号）。 4.如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走米到达山顶A处。这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°。请求出点B和点C的水平距离。 学科网（北京）股份有限公司 $$