专题13 探索勾股定理--2023-2024学年浙教版数学八年级上册期末同步辅导讲练突破

专题13 探索勾股定理 知识讲解 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有这就是勾股定理． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2、勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法. 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. 3、勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 勾股数： 4、说明： 1 个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． 2 组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 3 住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 5、勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 综合练习 一．选择题（共10小题） 1．如图，在等腰Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝DC，且AD＝2，以边AD、AC、CD为直径画半圆，其中所得两个月形图案AGCE和DHCF（图中阴影部分）的面积之和等于（　　） A．8 B．4 C．4 D．2 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为（　　） A． B．2 C． D．4 3．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（　　） A．18 B．22 C．28 D．36 4．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　） A．2，1 B．1， C．2， D．2， 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．如图，△ABC中，若AB＝20，AC＝13，BC＝11，则点A到BC的距离是（　　） A．5 B．9 C．10 D．12 7．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B＝90°，则（　　） A．b2＝a2+c2 B．c2+b2＝a2 C．a2+b2＝c2 D．a+b＝c 8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（　　） A．①② B．② C．①②③ D．①③ 9．如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE、△CBF、△CDG、△ADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1：2，连接BG、DE，分别交AE、CG于点M、N，则四边形GBED和四边形GMEN的面积比为（　　） A．5：2 B．2：1 C．：1 D．：1 10．如图，在“赵爽弦图”中，正方形ABCD是由四个全等的直角三