4.3.2 等比数列的前n项和公式教学 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 学习目标 掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 等比数列的前n项和公式 错位相减法 例题巩固 课堂小练 D C D C A ABD 24 12 7 小结： 回顾一下本节课学习了哪些新知识呢？ 1.等比数列的前n项和公式 2.等比数列的前n项和公式的应用 谢谢观看~ 设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是. 根据等比数列的通项公式，上式可写成.① 用公比q乘①的两边，可得.② ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得，即. 因此，当时，等比数列的前n项和公式为. 因为，所以上述公式还可以写成. 例1 已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n. 解：（1）因为，，所以. （2）由，，可得，即. 又由，得，所以. （3）把，，代入，得. 整理，得.解得. 例2 已知等比数列的首项为-1，前n项和为.若，求公比q. 解：若，则，所以. 当时，由，得. 整理，得，即. 所以. 例3 已知等比数列的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 证明：当时，，，， 所以，，成等比数列，公比为1. 当时，， ， . 所以. 因为为常数，所以，，成等比数列，公比为. 例4 如图，正方形ABCD的边长为5 cm.取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，则. 由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点， 所以. 因此是以25为首项，为公比的等比数列. 设的前n项和为. （1）. 所以前10个正方形的面积之和为. （2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和， 而， 随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 例5 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，， . 当时，.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 例6 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…. （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中k，r为常数； （3）求的值（精确到1）. 解：（1）由题意，得，并且.① （2）将化成.② 比较①②的系数，可得.解方程组得. 所以（1）中的递推公式可以化为. （3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则. 所以. 1.设等比数列的前n项和为，且，，则( ) A.128 B.127 C.64 D.63 解析：由，解得，所以公比，所以. 故选D. 2.已知等比数列的公比为，前n项和为.若，， 则( ) A.3 B.4 C.5 D.7 解析：法一：因为等比数列的公比为，，，所以，解得.故选C. 法二：根据等比数列前n项和的性质得，，成等比数列，且公比为，所以，即，解得.故选C. 3.已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则( ) A. B. C. D. 解析：设等差数列的公差为d，由得，解得，则，所以，，设等比数列的公比为q，则，则，故选D. 4.一个塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各棱的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该几何体的表面积(含最底层正方体的底面积)超过39，则正方体的个数至少是( ). A.4 B.5 C.6 D.7 解析：设最下层正方体棱长为，从下往上相邻两正方体棱长间的关系为. 从上往下看，几何体顶部裸露部分的面积与最下方正方体的上底面面积相等. 设含n个正方体的几何体表面积为， 由，得， 即，故该几何体中正