精品解析：湖南省岳阳市湘阴县第二中学2023-2024学年高二上学期竞赛数学试卷

湖南省湘阴县第二中学2023年下学期高二数学竞赛试卷 一、选择题（共14题 ） 1. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ） A 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 4. 复数与的积是实数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 8. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线上的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 9. 在数列中，，，则为（ ）． A. B. C. D. 10. 等差数列中，若，且，为前项和，则中最大是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次方程表示两条直线，则为（ ）． A. 94 B. 95 C. 96 D. 98 12. 正方体八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）． A. B. C. D. 13. 直线与椭圆相交于、两点,该椭圆上点,使得的面积等于3．这样的点共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14. 在中，，则可为（ ）． A. 12 B. 16 C. 24 D. 30 E. 48 二、填空题（） 15. 球的半径扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍. 16. 函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为______. 17. 在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是_______. 18. 在周长为定值的扇形中，扇形的面积最大时半径是_______. 19. 直线和两点，若直线上存在点M使得最小，求点M坐标_____. 20. 在中，，，则面积的最大值为_______. 三、计算题 21. 已知，计算 （1）； （2）； 22. 化简： （1）； （2） 23. （1）已知正数满足，求的最小值. （2）已知正数满足，求的最小值. 24. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 25. 已知椭圆的标准方程为，如图直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，角，焦点F满足，求离心率e. 26. 在中，的平分线交于，且，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省湘阴县第二中学2023年下学期高二数学竞赛试卷 一、选择题（共14题 ） 1. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 【答案】C 【解析】 【分析】 令，则，由与的图象关于原点对称即可得解. 【详解】解：令，则 与的图象关于原点对称， 与的图象关于原点对称. 故选： 【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求指对数函数的值域确定集合，再应用交运算求集合. 【详解】由题设，，， 所以. 故选：B 3. 为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数图象变换规律确定选项. 【详解】因为向左平行移动个单位长度得， 故选：C 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题. 4. 复数与的积是实数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求积可得，根据复数为实数的性质，即可得解. 【详解】， 若要复数与的积是实数， 则， 反之，则复数与的积是实数， 所以是复数与的积是实数的充要条件， 故选：A 5. 如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解. 【详解】连接，是的中点，， ，. 故选：B 6.