3.3.2抛物线的简单几何性质（第三课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第三课时） F x y 0 A B P 3 F x y 0 A B P 4 F x y 0 A B P 5 解法二∵ y12=2px1，y22=2px2∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2) ∴ AB过定点T(2p, 0). F x y 0 A B P 6 (法1) (法2) (法3) 小结：抛物线与直线中的定值问题(用⊥时记忆结论) (7) 以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. (6) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； 性质：过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线AB的倾斜角为α，则 (焦半径比例与倾斜角有关) 10 直线与抛物线的位置关系 直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经接触了一些,三句话的实践: (一)设而不求; (二)联立方程组,根与系数的关系; (三)大胆计算分析,数形结合活思维. 直线与抛物线位置关系种类 1.相离(0个交点)； 2.相切(1个交点) ； 3.相交(1个交点,2个交点) 与双曲线的情况类似 x y O 二、判断方法探讨 例：判断直线y=x+2与抛物线y2 =4x的位置关系 计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式.(相离) x y O 例：判断直线 y = x +1与抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得到一元二次方程,需计算判别式. (相切) 例：判断直线 y = 6与抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标 计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式. (相交) 例：判断直线 y = x -1与抛物线 y2 =4x 的位置关系 12 13 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行（重合） 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 14 (1)只有1个公共点： (2)有2个公共点： (3)无公共点： 先考虑二次项系数是否为0，再考虑△ ⑴只有一个公共点 ⑵有两个公共点 ⑶没有公共点 练习 16 17 小结：抛物线与直线的位置关系的判定(代数法) 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0， 联立直线与抛物线方程，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0． ①若m≠0， 当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点(相交)； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点(相切)； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点(相离)． ②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点， 此时直线与抛物线的对称轴平行或重合． 练习：求抛物线 y2=4x上一点到直线l：2x+y+4=0的最短距离. 例3.如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. 关键：转化为二次函数的最值. 关键：点P到AB的距离的最值转化为二次函数的最值. 例3.如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. A(5,0)倾斜角为45度恒与OA相交 关键：(数形结合法)点P到AB的距离的最值转化为两平行线间距离的最值. 例3.如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. 例4：已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程; (2)若y1 y2=﹣12, 求证:直线l过定点. 当l的斜率不存在时, ∵y1y2=-12,∴x1=x2=3, l过定点(3,0). 综上,l过定点(3,0). ∴l的方程为y=kx－3k=k(x－3)，过定点(3,0). 例5：已知抛物线y2=2x, 过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点, 试求弦AB的中点M的轨迹方程. 当直线AB的斜率不存在时, AB的中点M为(2,0),适合上式. (2018新课标II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. (2018新课标II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相