24.5 三角形的内切圆 2023-2024学年沪科版九年级下册数学

第24章　圆 24.5　三角形的内切圆 单击此处编辑母版文本样式 1.知道三角形的内切圆和内心的概念，比较三角形的内心与外心的特点. 2.知道三角形内心的性质，能根据性质画三角形的内切圆. 3.能借助三角形内切圆的相关性质解决几何问题. ◎重点:三角形内切圆的性质. ◎难点:运用三角形内心的性质解决几何问题. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 装修设计师小王为客户设计了一个正三角形形状的吊顶，并在吊顶的内部安装一个圆形液晶吊灯，为此他想在这个三角形吊顶的内部找到一个点作为吊灯的底座安装位置，同时又想知道圆形吊灯的半径最大可以是多少.他该如何去找到这个点的位置呢？ 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 三角形的内切圆及其性质  阅读课本本课时所有的内容，思考下列问题. 1.在“图24－50”中，△ABC内部可以作出一个面积最大的圆，这个圆与△ABC三边的位置关系是　相切　.  2.和三角形的三边都相切的圆，叫做三角形的　内切圆　，内切圆的圆心叫做三角形的　内心　.  相切　 内切圆　 内心　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 3.思考:三角形内部的一点若要到三角形任意两边的距离相等，则这点必在这两边组成的角的　平分线　上，三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以内心是三角形三条　角平分线　的交点.  ·导学建议· 用尺规作三角形的内切圆，作法课本上已经有了，应该让学生尝试动手去做，通过作图，理解三角形内心的性质. 平分线　 角平分线　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 三角形的内心和外心  名称 定义 确定方法 图形 性质 外 心 三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.AO＝BO＝CO； 2.外心O不一定在三角形的内部 内　心 三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1.点O到三角形三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠BCA； 3.内心O一定在三角形的内部 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 　　学法指导:三角形的内切圆只有　1　个，外接圆也只有　1　个；而圆的外切三角形有　无数　个，内接三角形也有　无数　个.  1　 1　 无数　 无数　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 1.在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，则O是△ABC的 (　B　) A.外心 B.内心 C.中线交点 D.高线交点 B 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 第2题图　　　 2.如图，☉O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC等于 (　C　) A.125° B.120° C.115° D.110° C 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 3.如图，在△ABC中，∠BIC＝125°，I是内心，O是外心，则∠BOC＝　140　°.  第3题图 140　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 内切圆半径、多边形周长和面积的关系 1.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积. 解:设内心为O，连接AO，BO，CO. ∵三角形的内切圆半径为r， S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC， ∴S△ABC＝AB·r＋BC·r＋AC·r ＝r(AB＋BC＋AC)＝lr. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　三角形的面积等于三角形的周长与其内切圆半径乘积的一半. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 直角三角形内切圆半径与边长 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的长分别为c、a、b，求△ABC的内切圆半径. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:设内切圆分别与AC、BC、AB相切于D、E、F，连接OD、OE， 则OD⊥AC，OE⊥BC， 又∠C＝90°，OD＝OE， ∴四边形ODCE为正方形， ∴CE＝CD＝r， ∴AD＝AF＝b－r，BE＝BF＝a－r，∴b－r＋a－r＝c， ∴r＝(a＋b－c). 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 三角形内切圆的综合应用 3.如图，△ABC内接于☉O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交☉O于点E，经过点E作☉O的切线分别交AB、AC的延长线于点F、G.求证:BC∥FG. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 证明:如图，连接OE. ∵AB、AC是☉P的切线， ∴AE平分∠BAC， ∴＝， ∴OE⊥BC. ∵FG切☉O于点E， ∴OE⊥FG，∴BC∥FG. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　三角形的内切圆与三角形的三边都相切，由此我们可以联想到切线的性质和切线长定理等知识.三角形的内心是三条内角平分线的交点，我们又可以联想到角平分线的相关性质.要关注前后知识之间的联系. 合