23.2 第3课时 方向角中的三角函数 课件 2023—2024学年沪科版数学九年级上册

第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用 第3课时　方向角中的三角函数 单击此处编辑母版文本样式 1.会构造直角三角形，解决方向角中的问题. 2.体会数学建模的思想，在实际问题中的应用. ◎重点:方向角中的三角函数关系. ◎难点:构建直角三角形，解决实际问题. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 我们如何表示自己所处的位置呢？方向角是不一种不错的方法.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)××度，若正好为45度，则表示为正西(东)南(北). 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 方向角中的三角函数  阅读课本“例5”，回答下列问题. 1.讨论:在“例5”的解答过程中，为什么要过点C作CD⊥AB于点D？ 构建直角三角形，将问题转化为解直角三角形. 2.思考:(1)“例5”中船在整个航行的过程中，距离灯塔最近的地方是在点　D　处，理由:　垂线段最短　.  D　 垂线段最短　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 (2)判断船是否安全，就是判断　CD　的长度是否超过10 n mile.  CD　 3.在“图23－18”中，简要说说如何用双直角三角形求得CD的长. 设CD为x，在Rt△BCD中，选用正切关系表达BD；在Rt△ACD中，选用正切关系表达AD，可知AD－BD等于一个已知的数，得到方程，解出CD. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 (1)作垂直，构造直角三角形，将实际问题转化为　数学　模型.  (2)根据条件的特点，选用合适的　锐角三角函数关系　，解直角三角形.  (3)将结果放入实际问题中，得出答案. 数学　 锐角三角函数关系　 归纳总结　利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为 (　B　) A.200tan 70°米 B.米 C.200sin 70°米 D.米 B 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向，距小岛60海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为　(10＋10)　海里/时.(结果保留根号)  (10＋10)　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 3.某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70 m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向.请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为　200　 m.(参考数据:tan 37°≈，tan 53°≈)  200　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 1.为了建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，某市正在对城区一河段进行区域性景观打造.如图，某施工单位为测得此河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B，C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200 m.求该小河的宽度(结果保留根号). 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:如图，过点A作AD⊥BC于点D. 根据题意，得∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°. ∴∠CAD＝45°， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴AD＝CD，∴BD＝BC－CD＝200－AD. 在Rt△ABD中，tan∠ABD＝， ∴BD＝＝＝AD. 又∵BD＋DC＝BC，∴AD＋AD＝200. ∴AD＝(300－100)m. 答:该小河的宽度为(300－100)m. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 2.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000 m到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向.请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求出AN的长. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:如图，过点M作MN⊥AC于点N，此时MN最短. 由题知∠MAC＝30°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝90°. 在Rt△AMC中，∠MAC＝30°，AC＝2000 m， ∴MC＝AC＝1000(m). 在Rt△MNC中，∠CMN＝30°， ∴CN＝MC＝500(m)，AN＝AC－CN＝1500(m). 答:AN的长为1500 m. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 3.钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测.一日，中国一艘海监船