专题 一次函数与方案选择问题（六大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第6章 一次函数》 专题 一次函数与方案选择设计问题 ★★★方法指引： ◆1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起. ◆2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为： ①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个及两个以上模型）； ②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系； ③结合实际需求,选择最佳方案. ◆3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题： ①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题； ②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题； ③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题. 题型一 方案的选择与设计问题- - -购买方案 购买方案 【例题1】（2023春•裕华区期末）某学校积极响应合肥市“争创全国文明典范城市”的号召，绿化校园，美化校园，计划购进A，B两种树苗，共45棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵50元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． （1）求y与x的函数表达式； （2）若购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【变式1-1】（2022春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？ 【变式1-2】（2023•雁塔区校级模拟）今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，西安作为十三朝古都，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．西安某景点的A、B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，A种纪念品的进价为11元/件，B种纪念品的进价为13元/件．若某商店决定要购进A、B两种纪念品共300件，设购进A种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该店进货时，厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，试问如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低，并说明理由． 【变式1-3】（2023秋•福田区校级期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【变式1-4】（2023•衢州模拟）三八节即将到来，小红打算买一束康乃馨和百合组合的鲜花送给妈妈，已知买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元． （1）买1支康乃馨和1支百合各需多少元？ （2）小红准备买康乃馨和百合共12支，且百合花的支数不少于康乃馨的，设买这束鲜花所需费用w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案． 【变式1-5】（2023•文山州二模）某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”．学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套A类图书的价格是每套B类图书价格的1.5倍，用4000元购买的B类图书比用3000元购买的A类图书多20套． （1）A、B两类图书每套分别是多少元？ （2）现学校计划采购60套图书，且A类图书的数量不低于B类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用． 【变式1-6】（2022秋•东阳市期末）某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为