7.1 正切（第1课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第7章　锐角三角函数 7.1 正切（1） 第1课时　正切的概念 1 学习目标 1. 利用相似的直角三角形，探索并掌握锐角的正切的概念，会在直角三角形中求一个锐角的正切值； 2. 会构造直角三角形求正切值. 问题情境 体育馆为了方便观众，设计了不同坡度的台阶. 哪个台阶更陡？ 观察与思考 1.哪个台阶最陡？你是如何判断的？ 1.倾斜角 2.倾斜角所对的边与它的邻边的比值. 观察与思考 2.比较图中两个台阶，你有什么发现？ A B1 C1 B2 C2 Rt△AB1C1 Rt△AB2C2 ∽ B3 C3 Rt△AB3C3 ∽ 根据相似三角形性质，你能得到什么结论？ = 概念学习 如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定. 　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA， A B C 斜边c 对边a 邻边b 即 tanA＝＝． 你能用同样的方法写出∠B的正切吗？ 概念中的几个注意点: 概念学习 1. tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角； 5.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等. 2. tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号； 3. tanA是一个比值 (注意比的顺序)，tanA＞0，无单位； 4. tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关； 新知巩固 1. 判断： C A B 在下图△ABC中，tanA=成立吗？ C A B ① ② × × 新知巩固 在Rt△ABC中，各边都扩大到原来的5倍，则∠A的正切值(　　)A.不变 B.扩大到原来的5倍 C.缩小为原来的 D.不能确定 A 2. 选择： 例题讲解 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB． 通过以上计算，你有什么新的发现吗？ B A C 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 BC＝==3， tanA＝＝， tanB＝＝. 互余两角的正切值互为倒数. 巩固练习 1.求图中各直角三角形锐角的正切值. B A C A1 B1 C1 7 5 12 5 ① ② 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， tanB＝，求△ABC的周长、面积． 巩固练习 B A C 12 解：∵tanB＝＝，AC＝12，∴BC＝5， 在Rt△ABC中，由勾股定理得, AB＝＝＝13， ∴C△ABC＝5+12+13=30， S△ABC＝×5×12=30. 变式 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的周长为12， tanB＝，求AC、BC的长． 巩固练习 B A C 解：∵tanB＝＝， ∴设AC=3k，BC＝4k， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB＝＝＝5k， ∵C△ABC＝3k+4k+5k=12，∴k=2. ∴AC=6，BC＝8. 新知归纳 2.在直角三角形中，已知一条直角边和斜边，先根据勾股定理求出另一条直角边，再使用正切的概念计算． 3.正切是直角三角形中三个量(两条直角边和一个锐角)之间的关系．已知其中两个量，可以得到第三个量； 1.在直角三角形中，已知两直角边，直接使用正切的概念计算； 由tanA＝ 变形可得到a＝b·tanA或b＝ . 例题讲解 例2 如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，垂足为D．求tanA． C A B D 解：由题意知，AD=AB=AC. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 CD＝=AD=AD， tanA＝＝. 你能求出tan30°吗？ 即tan60°＝ tan30°＝ 变式1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求tanB的值． 解：过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC＝13， ∴BD＝BC＝5.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 AD＝＝＝12，∴tanB＝＝. A B C D 13 13 10 添加辅助线构造直角三角形 例题讲解 变式2 如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是___________. 　 A B O 例题讲解 新知归纳 2.通过添加辅助线构造直角三角形，把非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题，再利用正切的定义解决． 1.使用正切的概念时，必须是在直角三角形中进行，若没有直角三角形，应先构造直角三角形． 1.求45°的正切值. 巩固练习 B A C 解：如图为等腰直角三角形. 设AC＝BC=a， ∴tan45°＝tanA＝＝=1. 巩固练习 2. 某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B