2024年中考数学复习讲义：与二次函数相结合的热点问题（一）实际应用问题

与二次函数相结合的热点问题(一) -实际应用问题 一、知识要点: 1.应用二次函数解决实际问题的基本思路: ①理解题意; ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系; ③用函数解析式表示它们之间的关系; ④用数学方法求解; ⑤检验结果的合理性. 2.建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤: ①审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系); ②设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确; ③列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数; ④按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题; ⑤检验所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案; ⑥写出答案 3.应用二次函数解决实际问题的注意事项: ①善于将实际问题转化为数学问题,再转化为函数问题; ②注意自变量的取值范围,不仅保证函数解析式有意义,还要保证符合实际意义。 4.利润问题主要涉及的两个等量关系: ①利润=售价-进价; ②总利润=单件商品的利润 销售量. 二、题型: (一)利用二次函数解决抛物线形问题 ( )拱桥(拱门)问题 1.一座拱桥的示意图如图所示,当水面宽为米时,桥洞顶部离水面米.已知桥洞的拱桥是抛物线,请尝试解决以下问题: (1)【问题1】建立合适的平面直角坐标系,求该抛物线的表达式. (2)【问题2】由于暴雨导致水位上涨了米,求此时水面的宽度. (3)【问题3】已知一艘货船的高为米,宽为米,其截面如图所示.为保证这艘货船可以安全通过拱桥,水面在正常水位的基础上最多能上升多少米? 2.某公园有一座漂亮的五孔桥,如图所示建立平面直角坐标系,主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放,每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线,主桥洞上,与近似满足函数关系.经测量在主桥洞上得到与的几组数据: (米) (米) 根据以上数据回答下列问题: (1)求主桥洞的函数表达式; (2)若的表达式:,的表达式:,求五个桥洞的总跨度的长. 3.蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构,它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架,上面覆上一层或多层保温塑料膜,这样就形成了一个温室空间.如图,某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成,其中,,取中点O,过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E,若以O点为原点,所在直线为x轴,为y轴建立如图所示平面直角坐标系. 请回答下列问题: (1)如图,抛物线的顶点,求抛物线的解析式; (2)如图,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置,,若,求两个正方形装置的间距的长; (3)如图,在某一时刻,太阳光线透过A点恰好照射到C点,此时大棚截面的阴影为,求的长. ( )投掷(射击)问题 1.根据以下素材,探究完成任务. 如何把实心球掷得更远? 素材1 小林在练习投掷实心球,其示意图如图,第一次练习时,球从点A处被抛出,其路线是抛物线.点A距离地面,当球到OA的水平距离为时,达到最大高度为. 素材2 根据体育老师建议,第二次练习时,小林在正前方处(如图)架起距离地面高为的横线.球从点A处被抛出,恰好越过横线,测得投掷距离. 问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系,求素材1中的投掷距离. 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远,请给小林提出一条合理的训练建议. 【分析】任务一:建立直角坐标系,由题意得:抛物线的顶点坐标为,设抛物线的解析式为,过点,利用待定系数法求出解析式,当时求出x的值即可得到; 任务二:建立直角坐标系,求出任务二的抛物线解析式,得到顶点纵坐标,与任务一的纵坐标相减即可; 任务三:根据题意给出合理的建议即可. 2.一次足球训练中,小明从球门正前方的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为时,球达到最高点,此时球离地面.已知球门高为2.44m,现以O为原点建立如图所示直角坐标系. (1)求抛物线的函数表达式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素). (2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25m处? 3.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析. 如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网与y轴的水平距离,,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系;若选择吊球,羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系. (1)求点P的坐标和a的值. (2)小林分析发现,上面两种击球方式