4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式 第一课时 (等差数列的前n项和公式) 一、探究新知 前面我们学习了等差数列的概念和通项公式,下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题. 我们从高斯的一个故事开始. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题: 1+2+3++-.+100=? 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案: 高斯(Gauss,1777-1855)，德国数学家，近代数学的奠基者之一，被誉为“数学王子”.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领城都作出过杰出贡献.高斯十岁时，有一次老师出了一道题，老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了一会儿，正当其他同学忙于把100个数逐项相加：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．” 老师问：“你是如何算的？” 高斯回答说：“1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51) =101×50=5050”. 高斯的这种算法实际上解决了求等差数列1,2,3,…,n,… 前100项的和的问题. 你能说说高斯在求和过程中利用了数列1,2,3,…,n,…的什么性质吗?你能从中得到求数列1,2,3,…,n,… 的前n项和的方法吗? 一、探究新知 对于数列1,2,3,…,n,…，设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为: (a1+a100)+(a2+a99)+…+(a50+a51)=101×50=5050. 可以发现，高斯在计算中利用了a1+a100=a2+a99=…=a50+a51 这一特殊关系，这就是上一小节的性质： 在等差数列{an}中，若p+q=s+t，则ap＋aq＝as＋at. 它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算. 将上述方法推广到一般，可以得到: 你能用高斯的方法求 1+2+3+…+100+101吗? 一、探究新知 当n是偶数时，有 于是Sn=1+2+3+…+n= =(1+n)+(1+n)+…+(1+n)= 当n是奇数时，有Sn=1+2+3+…+n =(1+n)+(1+n)+…+(1+n)+ 所以，对任意正整数n，都有: Sn=1+2+3+…+n= 我们发现，在求前n个正整数的和时,要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否避免分类讨论? 对Sn=1+2+3+…+n= 变形可得： 2Sn=2(1+2+3+…+n)=n(1+n) 它相当于两个Sn相加，而结果变成n个(n+1)相加. 受此启发，我们得到下面的方法: Sn=1+ 2 + 3 +…+n Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1 两式相加得2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+…+(1+n) =(1+n)+(1+n)+…+(1+n)= n(n+1) 所以Sn=1+2+3+…+n= . “倒序相加”法 一、探究新知 上述方法的妙处在哪里?这种方法能够推广到求等差数列{an}的前n项和吗? Sn=a1+ a2 +…+an Sn=an+an-1+…+a1 两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) =n(a1+an) 将左边公式变形可得 所以 就是等差 数列{an}前n项的平均数.实际上，我们就是利用等差数列的这一重要特性来推导它的前n项和的.你还能发现这一特性的一些应用吗? 一、探究新知 二、等差数列的前n项和公式 等差数列{an}的前n项和公式： 对于等差数列{an}，利用上面公式，只要已知等差数列{an}的首项a1和末项an,就可以求得前n项和sn,另外，如果已知首项a1和公差d,那么这个等差数列就完全确定了，你能用a1和d来表示Sn吗？ 不从第一个公式出发,你能用其他方法得到第二个公式吗? 三、典型例题 例1 已知数列{an}是等差数列. (1)若a1=7，a50=101，求S50； (2)若a1=2，a2= ，求S10； (3)若a1= ，d= ，Sn=-5,求n. 对于等差数列{an}的相关量a1, an，d,n, Sn，已知几个量就可以确定其他量? 单击此处编辑母版文