28.2.3 方位角、坡度、坡角问题 课件 2022-2023学年人教版九年级数学下册

28.2.3 方位角、坡度、坡角问题 九年级下 人教版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 1. 正确理解方向角、坡度的概念. 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. 学习目标 重点 难点 什么是方位角？ 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方位角. 如图所示： 新课引入 30° 30° B O A 东 西 北 南 北偏东30° 南偏西60° 你能说出A和B怎么表示吗？ 例1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01n mile）？ 65° 34° P B C A 新知学习 解：如图 ，在 Rt△APC 中， PC = PA · cos(90°－65°) = 80 × cos 25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， ∵ sin B = ， ∴ PB = ≈ 129.66(n mile) . 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66n mile． 65° 34° P B C A 归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 例2 如图，海中有一个小岛 A，它周围 8n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60° 方向上，航行 12n mile 到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30° 方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？ 北 东 A C B 60° 30° D E 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，则 AF 的长是 A 到 BC 的最短距离. ∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA = ∠BAF = 60°，∠ACE = ∠CAF = 30°， ∴∠BAC = ∠BAF - ∠CAF = 60° - 30° = 30°. 又∵∠ABC = ∠DBF - ∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC， ∴BC = AC = 12 n mile，∴AF = AC · cos30° = 6 n mile， 6 ≈ 10.392＞8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． F 北 东 A C B 60° 30° D E 例3 如图所示，A，B 两城市相距 200km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 ( 即线段 AB )，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45°的方向上．已知森林保护区的范围在以 P点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 ( 参考数据： ≈ 1.732， ≈ 1.414 )． 200km 解：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足. 则 ∠APC = 30°，∠BPC = 45°， AC = PC · tan 30°，BC = PC · tan 45°. ∵AC + BC = AB， ∴PC · tan 30°＋PC · tan 45° = 200， 即 PC＋PC = 200，解得 PC ≈ 126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 200km C 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？ 思考 A B C 很明显 BC 更陡！ 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 ( 或坡比 ) 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i =1∶6. 3. 坡度与坡角的关系 α l h 坡面 水平面 i = h : l 1. 如图，一山坡的坡度为 i = 1:2. 小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240m到达点 C. 这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到 0.01°，长度精确到 0.1m ）？ 针对训练 i=1:2 解：用 α 表示坡角的大小，由