随机变量及其分布知识梳理-2024届高三数学一轮复习

随机变量及其分布知识梳理 1.相互独立事件 (1)概念： 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A) P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质： 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 2.条件概率 (1)定义: 一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率。 (2)条件概率的性质： ①任何事件的条件概率都在0和1之间，即． ②如果B和C是两个互斥事件，那么． ③设和互为对立事件，则． (3)求条件概率有两种方法： ①条件概率定义法，基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P（B|A）； ②缩减样本空间法，根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间，计算AB的样本点数，计算AB的概率。 直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)=P(B)成立． (3)概率的乘法公式： 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)，我们称上式为概率的乘法公式(multiplication formula). 求条件概率需注意以下几点： ①事件B在事件A已发生这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的． ②所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率． ③已知事件A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，求P(B|A)时，可把A看做新的基本事件空间来计算B发生的概率． 3.全概率公式（由因求果） 一般地，设A1 、A2、…、An是一组两两互斥的事件， A1UA2U…UAn=Ω，且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=。 对全概率公式的理解： 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai (i＝1,2，…，n) （Ai 两两互斥，构成一个完备事件）所引起，则B发生的概率是P(BAi)＝P(Ai)P(B |Ai). 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起,发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关． 4.*贝叶斯公式（执果寻因） 一般地，设A1 、A2、…、An是一组两两互斥的事件， A1UA2U…UAn=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有，i=1,2,…,n。 5. “随机试验”的概念 一般地，一个试验如果满足下列条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行． ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个． ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个 结果． 这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验． 5.随机变量的定义： 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 随机变量的定义与函数的定义类似,这里的样本点相当于函数定义中的自变量,而样本空间Ω相当于函数的定义域,不同之处在于不一定是数集.随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化,这使我们可以比较方便地表示一些随机事件. 6.离散型随机变量的分布列： (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取值为：x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi (i=1，2，…，n)的概率 P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 为X的概率分布列，简称分布列，以表格的表示如下： (2)分布列的性质: ①n； ② 。 7.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义 X 0 1 P 1－p p 如果P(A)=p，则P()=1－p，那么X的分布列如表所示： 我们称X服从两点分布或0-1分布. 8.离散型随机变量取值的均值、方差 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 则称 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expe