数列求和的常用方法 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和的常用方法 数列求和是历来是数列中重点考查的知识之一，通常考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和公式，可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、不等式等相结合，综合命题. 复习回顾 1.数列前n项和Sn的定义 Sn=a1+a2+a3+…+an 2.等差数列、等比数列的前n项和的公式 3.在等差数列、等比数列的前n项和的公式推导中分别运用了什么求和方法? ①(等差数列)倒序相加法 ；②(等比数列)错位相减法 等差数列 等比数列 方法探究 一、分组求和法 例1.求数列 的前n项和. 分析： 由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。 例1.求数列 的前n项和 解： 同类性质的数列归于一组，目的是为便于运用常见数列的求和公式. 例2 .已知数列{an}满足： a1＝1 ， a2＝4 ， an＝ an-2 +2 ， (1)求通项公式an；(2)求数列{an}前n项之和Sn. 解： 因为 an＝ an-2 +2 ，所以 an﹣an-2 =2 ， 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 本题的另一技巧求解方法是先从偶数入手，求得Sn，而当n为奇数时，则n－1为偶数，利用Sn＝Sn－1＋an，求解整体意识得到充分发挥． 说明： (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． 通常需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论，所以结果一般用分段函数来表示． 归纳提升 练习.已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a22＝a4＋8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解: (1)设等差数列的公差为d，d＞0.由题意得， (2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－0＝(d＋3)(d－2)＝0，得d＝2. 故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n， 得an＝2n. (2)bn＝an＋2an＝2n＋22n. Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) 巩固练习 二、并项求和法 例3.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Sn. (2)由(1)，得bn＝(－1)n·an＝(－1)n·2n， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n， 并项局部重组转化为常见数列求和 练习：12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？ (1)一般地，当数列中的各项正负交替，且各项绝对值成等差数列时，可采用并项转化法求和． (2)在利用并项转化法求和时，一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论，所以结果一般用分段函数来表示． 归纳提升 巩固练习 1．已知数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，a3＝3， 则a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝________. 解析：由anan＋1an＋2an＋3＝24可知， an＋1an＋2an＋3an＋4＝24，得an＋4＝an， 所以数列{an}是周期为4的数列， 再令n＝1，求得a4＝4， 每四个一组可得 (a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013 ＝10×503＋1＝5 031. 提升练习 说明：若数列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它数列求和。 错位相减法在等比数列求前 n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。 求法步骤如下： 1、在 的两边同时乘于公比q 2、两式相减 ；左边为 ，右边q的同次式相减 3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的 各项组成等比数列，可用公式求和。 三、错位相