第十三章 轴对称 习题课 等腰直角三角形常见的解题模型 讲义2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 习题课 等腰直角三角形常见的解题模型 【模型先知】 模型1　等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点 模型2　等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短构造全等 模型2变式　等腰直角三角形及8字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角 补充模型　三垂直模型 【同步练习】 类型1 等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点 【模型展示】如图，在等腰直角三角形ABC中，D为斜边的中点，则连接AD⇒AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件证△BDE≌△ADF或△ADE≌△CDF得出相关结论． 1．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE＝BF.求证： (1)DE＝DF； (2)△DEF是等腰直角三角形． 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E，F分别在AC，AB上，且DE⊥DF，试判断DE，DF的数量关系，并说明理由． 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图①，若E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，试说明：BE＝AF； (2)如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF还成立吗？ 类型2 等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短构造全等 【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°.若BE⊥CE，则有∠1＝∠2.常通过在BE上取点F，使得BF＝CE⇒△ABF≌△ACE. 4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°. 类型2变式　等腰直角三角形及8字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角 【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，∠AEB＝45°，常过点A作AF⊥AE，则∠FAE＝90°，∠1＝∠2. 5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB＝45°，求证：CE⊥BD. 补充模型　三垂直模型 【模型展示】如图，已知等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥DE，CE⊥DE，则△ABD≌ △CAE. 6．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＞CE，试解答： (1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由； (2)若BD＝5，CE＝2，求DE的长． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【同步练习】 类型1 等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点 【模型展示】如图，在等腰直角三角形ABC中，D为斜边的中点，则连接AD⇒AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件证△BDE≌△ADF或△ADE≌△CDF得出相关结论． 1．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE＝BF.求证： (1)DE＝DF； (2)△DEF是等腰直角三角形． 证明：(1)连接AD. ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠DAE＝∠BAD＝45°. ∴∠BAD＝∠B＝45°. ∴AD＝BD，∠ADB＝90°. ∵AE＝BF，∠DAE＝∠B＝45°，AD＝BD， ∴△DAE≌△DBF(SAS)． ∴DE＝DF. (2)∵△DAE≌△DBF， ∴∠ADE＝∠BDF. ∵∠BDF＋∠ADF＝∠ADB＝90°， ∴∠ADE＋∠ADF＝90°. ∴△DEF为等腰直角三角形． 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E，F分别在AC，AB上，且DE⊥DF，试判断DE，DF的数量关系，并说明理由． 解：DE＝DF，理由如下：连接AD，∵∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝AD，∠C＝∠DAF＝45°，AD⊥CD，∴∠CDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°，∴∠CDE＝∠ADF，在△CDE和△ADF中，∴△CDE≌△ADF(ASA)，∴DE＝DF 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图①，若E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，试说明：BE＝AF； (2)如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF还成立吗？ 解：(1)证明：连接AD，如图①所示． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD， ∠B＝∠C＝