15.4 第3课时 角平分线的应用 课件-2023-2024学年沪科版数学八年级上册

第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.4　角的平分线　 第3课时　角平分线的应用 单击此处编辑母版文本样式 1.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点. 2.知道三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等. 3.能运用角的平分线的性质和判定解决实际问题. ◎重点:三角形三个内角平分线交点的性质. ◎难点:角平分线的性质和判定的综合应用. 素养目标 单击此处编辑母版文本样式 如图，上节课我们知道如何在两条公路的中间修建一座加油站，使得加油站到两条公路的距离相等.现在我们将问题进行升级，如何在三条公路的中间，选择一个地点建造加油站，使得加油站到三条公路的距离都相等. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 三角形内角平分线交点的性质  揭示概念:三角形三条角平分线相交于　一　点，这一点到三角形三边的距离　相等　.  学法指导:用分割与组合的方式求三角形面积的方法是常见的求面积的途径之一. 一　 相等　 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 1.如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A，C，则下列结论错误的是(　C　) A.AD＝CD B.∠DAP＝∠DCP C.PD＝BD D.∠ADB＝∠BDC C 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 2. 如图，某市高新开发区有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中新安置一景观照明灯，要求灯到三条马路的距离相等，请你帮助确定灯的位置. 解:图略(提示:做三条马路所形成的夹角中任意两个角的平分线的交点即为灯应安置的地方). 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 平分线的应用 1. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有(　D　) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 D 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，求证:AC＋CD＝AB. 　 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 证明:在AB上截取AE，使AE＝AC，连接DE. ∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠1＝∠2. ∴△ACD≌△AED(SAS)，∴CD＝DE， ∠AED＝∠C＝90°. 又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°， ∴DE＝EB，∴AC＋CD＝AE＋DE＝AE＋EB＝AB，即AC＋CD＝AB. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 【方法归纳交流】证明一条线段等于两条相等的长，可以从“长”线段中截取一段等于其中一条线段，再证明剩余“部分”与另一条线段相等；也可将两条线段“拼”接在一条线段上，然后证明相等. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 3.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，且BD＝CD.求证:BE＝CF. 证明:∵AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(HL).∴BE＝CF. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 【变式训练】对于第3题，其他条件不变，若已知BE＝CF，求证:BD＝CD. 证明:∵AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. 又∵BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(SAS)， ∴BD＝CD. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 用角平分线性质解决实际问题 4.如图，有一块三角形的空地，其三边长分别为20 m、30 m、40 m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花.请你设计出一个方案，并说明你的理由. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:方案:如图，分别作∠C和∠B的角平分线，它们相交于点P，连接PA.则△PAB、△PAC、△PBC的面积之比就是2∶3∶4. 理由:经过点P作PE⊥AB于点E， PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 因为P是∠C和∠B的角平分线上的点， 所以PE＝PF＝PH， 所以S△ABP＝AB×PE＝10PE， S△BCP＝BC×PH＝20PH， S△ACP＝AC×PF＝15PF， 所以S△ABP∶S△ACP∶S△BCP＝10PE∶15PF∶20PH＝2∶3∶4. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 【方法归纳交流】涉及角平分线的问题时，常用的辅助线有: (1)如图1，自角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线的性质解题. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (2)在长的角边上截取等于短的角边——截长(如图2)，或延长短的角边使其等于长的角边——补短(如图3)，从而构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质解题. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 1. 已知