圆的切线与切点弦（课件+教学设计）——2023年江苏省高中数学优质课比赛(江苏省泰州中学展胤)

课 题：圆的切线与切点弦 教材：苏教版数学选择性必修1 一、教材内容解析 本节课选在苏教版《数学》（选择性必修第一册）第二章“圆与方程”中安排的“问题与探究”栏目内容，属于圆这一章主体知识的延伸与拓展。教材在本段内容之前已有一定的方法渗透， 如圆的切线方程的求解，判断直线与圆的位置关系等等. 这些内容均可视为本节课的先行组织者内容. 二、教学目标设置 (1) 探究点、圆、l:三者之间的关系；运用类比推理、演绎推理得到切点弦、弦切线的相关结论. (2)初步形成数学探究活动经验和数学研究基本方法，能在关联情境中提炼数学问题，在同伴合作中表达交流、反思质疑. (3)通过数学探究活动，让学生经历过程，体味数学思想，积累活动经验，形成数学抽象的意识，提升数学抽象能力和逻辑推理能力，同时发展学生的理性思维和勇于探究的意志和品格. 3、 学生学情分析 在本节探究课前，已完整学习过直线与方程、圆与方程这两章内容，能熟练应用解析几何的方法探究直线与圆、圆与圆的位置关系。 教学重难点：在点与线的互动关联中，探究点、圆、l:三者之间的关系； 四、教学策略分析 在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，通过一系列循序渐进的探究活动，帮助学生多角度地理解教学内容． 在学法上，从学生已有的认知出发，给与学生充分的独立思考、动手操作、合作探究、交流展示的时间和机会，注重学生的学习过程体验，着力培养学生的探究精神，实现人人参与活动，不同的人得到不同的发展． 五、教学过程设计 1.创设情景，提出问题 情景 欣赏美丽的包络线，探究其中的数学问题. 【设计意图】感悟数学之美，活跃课堂气氛，调动学生探究的积极性. 问题1 若点在圆O：x2+y2=r2上，直线l:x0x+y0y=r2与圆x2+y2=r2相切吗？ 预设1 . 预设2 . 小结：若点在圆O：x2+y2=r2上，有，且，则直线l是圆O的切线. 2.提出问题，深入探究 师：我们已经探究出了，当点在圆O上，直线l的特征，接下来你们会你们情形？ 问题2 当点P0在圆外时，方程x0x+y0y=r2表示怎样的直线呢？ 师：要想了解l是怎样的直线，就是探索这三者之间的关系，当点P0与圆O的位置关系确定后，直线l与圆O有什关系？点与直线又有什么关系？ 同学之间合作交流，汇报探究成果： 预设1 直线与圆相交. 师：大家首先想到的是去探究直线与圆的位置关系，还有没有其他发现？ 预设2 师：表示圆心到直线的距离，表示半径，有没有什么几何意义呢？ 生：圆心O与点P0之间的距离. 师：观察这两个距离，你发现了什么规律？ 生： 师：在图中，d表示哪条线段长？r呢？ 师：由，你发现了什么？ 生：AHO∽P0AO 师：根据相似，能得到什么？ 生：直线P0A是圆O的切线，切点为A 师：那么直线l是怎样的直线？ 生：直线为圆O的切点弦所在直线. 师：刚才我们是用几何法探究出直线的特征，能不能用代数的方法证明？ 【设计意图】引导学生从已有的经验出发，先探究熟悉的直线与圆的位置关系，从这个小切口，分析d,r,它们的几何意义，发现距离之积为定值的规律，以此为突破口，挖掘出图形中隐藏的切线，切点，进而得出直线l的特征.最后从代数的角度给出证明，既体现了数形结合的思想也体现了数学的严谨性. 回顾小结：当点P0在圆外时，由确定了直线的方向，这个等量关系确定了直线的位置，我们可以从这些方面探究直线l. 接下来，请大家类比刚才的过程，小组交流，合作探究点P0在圆内的情形. 问题3 当点P0不在圆内时，方程x0x+y0y=r2表示怎样的直线呢？ 小组展示探究结果 问题4 P0点与圆O的位置不同，那么直线l就有不同的对应和含义，但是这三种情况有没有一些共同点呢？ 预设 无论P0点在何处，总有 师：当点P0在圆内时，过H作圆的两切线的切点的连线经过点P0，如果将“H”变为直线l上的任意一点，这个性质是否仍然成立呢？ 预设 过直线l上任意一点向圆O引切线，切点弦必过点P0. 借助GGB进行验证. 【设计意图】当点P0在圆内时，想进一步发现直线l的特征比较困难，可以尝试从特殊到一般，让学生直观感受直线l的特征，进而提出相应的猜想，培养了学生直观猜想和抽象概括的能力，最后用几何GGB动态演示，验证猜想，激发了学生的成就感和愉悦感. 小结：一般地，当点P0在圆内时，过P0作圆的弦，在弦的两端点作圆的两切线，其交点轨迹即为直线x0x+y0y=r2. 六、回顾与反思 本节课我们探究了,, 三者之间的关系.回想一下， (1)我们是如何探究的？ (2)我们获得了哪些结论？ (3)在探究过程中，我们运用了哪些思想方法？ 【设计意图】引导学生回顾研究过程，总结研究方法. 七、布置作业 必做题：尝试研究椭圆、双曲线、抛物线中的切线与切点弦问题；