圆的切线与切点弦（课件+教学设计）——2023年江苏省高中数学优质课比赛(镇江一中胡佳君)

教材：（苏教版）选择性必修第一册第二章 《圆的切线及切点弦》教学设计 教学设计说明 本节课为教材第72页《问题与探究》，在选择性必修一第二单元《圆与方程》的章末位置，既是对本章学习内容的归纳与提升、对直线与圆的基本研究方法（求直线与圆的方程、运用直线与圆的方程研究它们的性质）和基本数学思想的总结与提炼，又为第三单元圆锥曲线的学习提供知识基础与探究学习方法，提供学习经验。 因此本节课设计时，首先通过对“圆与方程”单元知识的重构，让学生体会知识内部的联系，形成大单元整体观念，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.然后创设数学情境，引导学生通过尝试作图、观察类比、归纳猜想发现和提出问题，养成深度思考，深度学习的习惯.通过对问题的分析解决，体会数形结合、转化与化归等数学思想，掌握设而不求、轨迹法等解决解析几何问题的重要方法，感受向量的工具性，感受形与数的对立和统一，体会和运用归纳猜想、直观想象、相似类比、逆向分析、发散思考等探究方法。 整节课以明暗两条线贯穿，明线是让学生体会“以形助数”、“以数解形”，掌握求圆的切线方程的方法，发现与验证圆的切点弦所在直线的方程，并探究点在圆内时直线的几何特征，提升学生运用数形结合思想解决问题的能力，暗线是推进学生数学思维发展进程，即视觉水平、分析水平，非形式化演绎水平、形式化演绎水平、严密性.培养学生的数学探究意识和基本方法，在数学探究过程中润泽核心素养。将教学阶段分为：学前咨询阶段、引导定向阶段、阐明领会阶段、自由定向阶段、整合提升阶段. ( 一、学习目标 ) 1.会求圆的切线方程、经历圆的切点弦的发现过程，探究点在圆内时方程的几何意义，学习与感悟发现数学问题的路径和数学探究的基本方法.通过对问题的探究，体会数形结合、转化与化归等数学思想，体悟直观想象、比较类比、猜想验证、分析综合、逆向思考、联想发散等探究方法. 2.通过对“圆与方程”单元知识的重构，体会知识内部的联系，形成大单元观念，通过探究直线方程的几何意义培养发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.提高学习兴趣和自信心，感受数学的神奇魅力. ( 二、重点、难点 ) 重点： 1、 初步学会发现和提出问题 2、 探究数学问题的一般路径 ( 三、教学方法与教学手段 )难点： 如何探究方程 的几何意义 启发式、探究式、小组合作学习法 教学过程设计 环节1： 知识重构 创设情境 引言：我们已经学完了第二章《圆与方程》，本单元的知识结构是什么？（学生思考后展示结构图）这一单元是围绕点、线、圆展开的.用几何方法和代数方法，也就是形与数两个角度研究了圆的方程，获得了点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系的判定方法.在以上的位置关系中，你想进一步研究什么？ （学生回答后教师引导：直线与圆的关系有的是用等量关系刻画的，有的是用不等关系刻画的，数学研究往往遵循由简单到复杂，由特殊到一般的规律，想要弄清楚不等关系，就要先研究好相等关系.从点在圆上和直线与圆相切这两种相等关系，可以提出怎样的问题呢？） 【设计意图】通过单元知识复习，形成大单元观念，并从形和数两个角度重新认识三个几何图形间的关系，建立数形统一的观点.为研究圆的切线方程创设情境. 环节2：数形结合 分析问题 问题1：（由学生提出可以求圆的切线方程）问题与探究1：点在圆上，求圆的过点的切线方程.你能想出哪些方法？ 【设计意图】问题再现，激发学生深度思考.加深对“以形助数”、“以数解形”的理解，提高逻辑推理能力，培养运用数形结合探究解决问题的方法为明线.推进学生几何思维发展进程为暗线，即视觉水平、分析水平，非形式化演绎水平、形式化演绎水平、严密性. 学生展示思考过程： 思路一：直线和圆的方程联立，判别式等于0（方程思想）； 思路二：圆心到直线的距离等于半径，注意斜率不存在的直线；（以数释形） 思路三：圆心与切点的连线和切线垂直，注意斜率不存在的直线及斜率为零的直线.（数形结合） 思路四：观察所求切线方程上任意一点满足， 其左端恰为，再用，.（他山之石） 环节3：改变条件 生成问题 问题2：若与圆的位置关系发生变化，当是圆外一点，是否仍与圆相切？ 【设计意图】启发学生观察、分析在组合图形中各元素间的位置关系（与圆的位置关系，与直线