圆的切线与切点弦 课件+教学设计——2023年江苏省高中数学优质课比赛

问题与探究《圆的切线与切点弦》教学设计 1、 内容和内容解析 1.内容：过圆上一点作圆的切线方程；过圆外一点作圆的切点弦方程；探究弦切线交点的轨迹方程. 2.内容解析： 本节是苏教版《数学》选择性必修一第二章“圆与方程”章末的“问题与探究”的内容，是本章内容的延伸探究，从第一章的直线与方程，解析几何处理的方法已经在有渗透，直线与圆位置关系的学习也为本节做铺垫.而本节的学习为后面圆锥曲线的切线、切点弦，以及相关的定点、定值问题提供了研究方法. 2、 目标和目标解析 1.目标 (1)回顾直线与圆相切的静态定义的同时，初步感受切线的动态定义； (2)探究并推导圆上一点处的切线方程和过圆外一点作圆的切点弦方程； (3)探究过圆内一定点所作的弦切线的交点轨迹方程. (4)在探究圆的切线、切点弦、弦切线过程中，发展合情推理、操作实验、抽象概括、推理论证等探究能力，进一步感悟数形结合的数学方法在解析几何问题中的应用，提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养. 2.目标解析 达成上述目标的标志： (1)学生通过由特殊到一般、操作实验、推理论证，得到切线、切点弦方程，研究圆内一点作圆的弦切线的交点轨迹，在变化中感受不变性. (2)在知识目标达成的过程中，建构探究问题的策略方法. (3)学生数学抽象、逻辑推理、直观想象核心素养得到进一步提高. 三、教学重难点 1.教学重点 (1)圆的切线、切点弦、弦切线交点轨迹方程的探究和推导； (2)在线随点动的过程中，经历猜想发现、论证推导的数学探究过程. 2.教学难点 (1)发现线随点动中的不变性，主动探究点在圆内时直线的含义. 四、教学过程 （一）创设情境，聚焦切线 环节1：投影常见的数学包络线，结合动画展示，引起学生的学习兴趣，这些用直线“画”出来的曲线就是包络，在动态形成的过程中，发现直线与包络线相切. 环节2：教师展示自己作的动画--包络线（圆），引出本节课课题. 提问1：教师所作包络线用到的几何知识是什么？ 提问2：直线与圆相切的定义是什么？ 公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第3卷中将圆的切线定义为：“与圆相遇，但相遇后不相交的直线”，同卷中相关命题： ●切线与圆的公共点的个数为1； ●切线不能穿过圆或圆位于切线的同一侧； ●切线与圆心至切点的连线垂直. 设计意图：借用美丽的包络线，凸显研究切线的必要性（包络在经济学、信号处理学等诸多方面应用广泛）.教师所作的包络为圆，进一步聚焦本节课的主题，即直线与圆相切，问题1和2旨在引导学生回顾直线与圆相切的定义，同时给出《几何原本》中关于直线与圆相切的定义以及相关命题，是学生用几何方法处理切线问题的基础. （2） 探究推导相关切线命题 公元17世纪，笛卡尔和费尔马创立了解析几何之后，几何问题从代数角度研究有了很多新的发现. 问题3：在平面直角坐标系下，切线随着切点的变动而变化，表现为什么在变化？ 例题1.已知圆的方程求在圆上一点处的切线方程. 生1：借助垂直，先求OP直线斜率，进而得到切线斜率，再代入一点P求直线方程. 师：在此求解过程中否有需要特别注意什么？ 生2：可以利用或者直线与圆联立，刻画直线与圆只有一个公共点. 师：我们知道，求轨迹方程，本质上是求曲线上的每一个点所满足的要求.能否从轨迹的角度探求切线方程呢？ 生3：设直线上任意一个点为Q，且满足，即设，，代入得 ，即. 生4：可以直接从投影的角度，因为，所以在上的投影不变，始终等于，即得到，即为切线方程. 命题1.已知圆的方程在圆上一点处的切线方程是. 设计意图：通过问题3，引导学生在解析几何中，用代数手段刻画几何问题，研究切线位置的变化就是在探求切线方程. 求切线方程多种方法的产生，主要是根据直线与圆相切的定义和性质，借助几何直观的垂直，多种角度刻画垂直，斜率，向量，或者代数角度联立，亦可以用勾股定理来刻画垂直求轨迹方程. 问题4：如图，甲、乙两位同学在不同两点处所作切线，延长后交于一点，假设此时交点是，你能用数学语言刻画交于点吗？ 生：在点P处的切线方，代入，得到，同理在点A处的切线方程，代入，得到. 追问1：从这样的两个代数式子，又能得到什么呢？背后刻画了什么样的几何图形？ 生：这两个式子完全一样，从方程的观点，就是说是方程的两组解，从形上即为两个切点PA连线所在方程. 追问2：是不是圆上任意两点处的切线都会相交于一点呢？ 非直径端点的两个点所作的切线均会交于一点，逆向思维，直线PA也可以看成是，由圆外一点作圆的切线，两切点所在直线. 设计意图：如何才能很自然的引出，由圆外一点作圆的两条切线，研究切点弦直线方程，这里设计了从切线出发，交出圆外的一点，巩固在圆上一点处的切线方程，同时，引导学生从数的角度刻画相交，从方程的观点认识直