天津市武清区南蔡村中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷

2023-2024 年高二年级第一学期第二次月考 数学试卷 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知空间向量� = (1,2, − 3)，� = (2, − 1,1)，� = (2,0,3)，则� ⋅ (� + � ) =（ ） A．−10 B．3 3 C．(4, − 2, − 12) D．(5,0, − 15) 2．直线 l：� + 3� + 3 = 0的倾斜角θ为（ ） A．� 6 B．� 3 C．2� 3 D．5� 6 3．抛物线�2 = 8�的焦点�的坐标是 A．( − 2,0) B．(2,0) C．(0, − 2) D．(0,2) 4．已知过坐标原点的直线 l的方向向量� = 1,1,1 ，则点� 1,2,3 到直线 l的距离是 A．2 B． 5 C． 3 D． 2 5．在等差数列 �� 中,�1 + �3 = 8,�2�4 = 40,则公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知直线 3� + � + � = 0(� > 0)与圆�2 + �2 − 2� − 4 = 0相交于 A，B两点，若|��| = 10，则 m的值为（ ） A． 5 2 B． 10 4 C．3 D．4 7．双曲线 C与椭圆� 2 9 + � 2 4 = 1有相同的焦点，一条渐近线的方程为� − 2� = 0，则双曲线 C的标准方程为（ ） A．� 2 4 − �2 = 1 B．� 2 9 − � 2 36 = 1 C．� 2 9 − � 2 36 = 1 D．� 2 4 − �2 = 1 8．若�� = ��−1 + � − 1，�1 = 1则�10 =（ ） A．55 B．56 C．45 D．46 9．已知椭圆 E的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F且斜率为 2的直线交椭圆 E于 P，Q两点，若 1 2FPF 为直角，则椭圆 E 的离心率为（ ） A． 5 3 B． 2 3 C． 2 3 D． 1 3 二、填空题 10．若椭圆 2 2 1 1 3 x y k k     的焦点在 y轴上，则实数 k的取值范围是 . 11．已知空间向量� = (3,1,3), � = ( − 1, �, − 1)，且� //� ，则实数� = ． 12． 过点（1，1）的直线与圆 2 2( 2) ( 3) 9x y    相交于 A，B两点，则|AB|的最小值为 . 13．圆 x2＋y2－2x－5＝0和圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为 A、B，则线段 AB的垂直平分线方程为 14．如图，已知平行六面体���� − �1�1�1�1中， �� = �� = 1，��1 = 4，∠���1 = ∠���1 = ∠��� = 60∘.�为��1 的中点，则��长度为 . 15．数列 �� 满足：�1 = 2, ��+1 = 1+�� 1−�� ，则�2010的值为 . 三、解答题 16．已知数列 �� 前 n项和为�� = �2 + 1． (1)试写出数列 �� 的前 3项； (2)求数列 �� 的通项公式. 17．如图，在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，E 为棱 BC的中点，F为棱 CD的中点． （I）求证：�1�//平面�1��1； （II）求直线��1与平面�1��1所成角的正弦值． 18．已知椭圆�: � 2 �2 + � 2 �2 = 1 � > � > 0 的离心率为 2 2 ，上顶 点为� 0,1 ． (1)求椭圆�的方程； (2)过点� 0, 3 且斜率为�的直线与椭圆�交于不同的两点 �，�，且 �� = 8 2 7 ，求�的值． 19．已知圆�: �2 + �2 + 6� − 4� + 9 = 0，A是圆 C上一动 点，点�(3,0)，M为线段��的中点． (1)求动点 M的轨迹方程； (2)记 M的轨迹为曲线 E，过点�(1,3)的点线 l与曲线 E有 且只有一个交点，求直线 l的方程． 20．如图，在四棱锥� − ����中，�� ⊥平面����，��//��， 且�� = 2，�� = �� = �� = 1，�� ⊥ ��． (1)求证：�� ⊥ ��； (2)求平面���与平面���的夹角； (3)在线段��上是否存在一点�，使得直线��与平面��� 垂直，如果垂直，求此时点�到平面���的距离，如果不 垂直，说明理由．