4.3.2 等比数列的前n项和公式（6大题型）精讲-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2 等比数列的前n项和公式 重点：掌握等比数列的前n项和公式及推导思路； 难点：会用等比数列的前n项和公式解决与等比数列前n项和有关的一些基本问题 一、等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 二、等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 三、等比数列前n项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。 四、等比数列前n项和运算的技巧 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。 题型一 等比数列的前n项和与基本量 【例1】（2023·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（ ） A． B． C．或 D．－3或 【变式1-1】（2023·山东青岛·高二统考期中）设是数列的前项和，,，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则数列的公比的值为（ ） A． B．1 C．或1 D．或1 【变式1-3】（2023·安徽宣城·高二统考期末）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（ ） A．4 B．16 C．32 D．64 题型二 等比数列片段和的性质 【例2】（2023·江苏·高三期中）设等比数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D．3 【变式2-1】（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（ ） A． B．- C． D． 【变式2-2】（2023·湖北宜昌·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ） A．27 B．45 C．65 D．73 【变式2-3】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（ ） A．786 B．240 C．486 D．726 题型三 等比数列奇数项与偶数项的和 【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A． B．2 C． D． 【变式3-2】（2022·贵州·统考模拟预测）在数列中，，，若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】（2023·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 题型四 等比数列前n项和的其他性质 【例4】（2023·上海浦东新·统考三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式4-1】（2023·江西赣州·统考一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【变式4-2】（2022·上海·统考模拟预测）已知为等比数