4.2.1 等差数列的概念（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 第2课时 人教A版（2019）选择性必修第二册 学习目标 1.掌握等差数列的相关性质，并能灵活运用. 2.运用等差数列解决一些实际问题. 3. 核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象 一、复习导入 等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示. 等差中项：由等差数列的定义，有，所以，即.此时我们把叫做的等差中项. 递推公式： = 通项公式： = （ ）. 二、新课讲授 例1 已知等差数列{}的首项为，公差8，在{}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}. （1）求数列{}的通项公式. （2） 是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，说明理由. 解:(1)设数列{}的公差为， 由题可知， ， ，于是 = =8 所以，数列 = =2+ ×2= 2， =8，解得=2. 数列 {}的通项公式为= 2. 5 追问1：如果插入个数，那么数列{} 的公差是多少？ ， ，于是 = = = ，解得=. （2） 是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，说明理由. 解:(2)由(1)知， 于是 29=58 由已知， = 2+ ×8= 8， 令858，解得=8， 所以是数列{}中的第8项. 追问1：还有其他方法判断次结论吗？ 解法二：数列{}的各项，依次是数列{}的第1,5,9,13…项.这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{}. 则= 1+ ×4= 4， 令429，解得=8. 所以是数列{}中的第8项. 法1：方程思想 法2：构造新数列（位置关系） 例2 等差数列{}的通项公式为分别求， 和的值. 解:由通项公式可知， = 3×1 2= 1， = 3×7 2= 19，= 3×2 2= 4， = 3×6 2= 16， = 3×3 2= 7， = 3×5 2= 13. 所以+= += += 20. 追问1：三组和相等的项，有什么共同的特点？ 和相等的两项，它们的下标和也相等. 追问2：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？ 结论：若数列{}是等差数列， ，且，则有+= +. 证明：设等差数列{}的公差是，则 = = , = = , 所以 + = 2, + = , 因为，所以+= +. 追问3：等差数列{} 中，能否有= ？ 不一定！ 但是有 = 追问4：在等差数列{}中,如果=2(,∈ ),那么= 2是否成立?请给出证明. 证明：设等差数列{}的公差是，因为=2时， + = + = 2 =2[ . 追问5：能否用函数的观点，结合函数的图象，来解释此性质呢？ 因为， 所以+= +. 梯形中位线 例3 某公司购置了一台价值为180万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（ 为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围（精确到0.1）. 180×5%=9（万元） 解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}.由已知条件，得 = , 所以数列{}是一个公差为的等差数. 因为=180 ， 所以=180 + ， 根据题意，有 解得15.6＜ ≤17.1 所以，的取值范围为15.6＜ ≤17.1. 14 三、课堂小结 1、等差数列的性质及应用. 2、等差数列的实际应用. 3、研究方法：函数与方程思想；数形结合思想 四、作业布置 课本P18：练习 第5题 $$