4.2.1 等差数列的概念（第1课时）课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 第1课时 人教A版（2019）选择性必修第二册 学习目标 1.理解等差数列的含义. 2.掌握等差数列通项公式的推导过程及其运用. 3.理解等差数列与一次函数的关系. 4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象 一、复习导入 定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的定义域是正整数集或它的子集. 数列{} 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，记为=. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 我们把数列{}从第1项起到第项止的各项之和，称为数列{}的前项和，记作即= + + . 如果数列{} 的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式. 二、新课讲授 1、等差数列的概念 （1）北京天坛圜丘的地面石板数： 9，18，27，36，54，63，72，81. ① （2）S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的服装上衣对应的尺码分别是：38，40，42，44，46，48. ② 问题1：请看以下的数列，你能找到它们的取值规律吗？ （3）测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：25，24，23，22，21. ③ 对于数列①，我们发现： 18=9+9, 27=18+9，…，81=72+9，即 18 9=9, 27 18=9，…，81 72=9. 如果用{} 表示数列①，则有： =9, =9,…， =9. 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. 数列②和数列③也和数列①具有相同的规律. 6 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示. 追问1：请判断以下数列是否为等差数列. （1）5，9，13，17，21. （2）9，7，5，3，1，-1. （3）6，6，6，6，6，6. （4）0，1，0，1，0，1. 是， =4 是， =-2 是， =0 不是 追问2：如果在和中间插入一个数，使， ， 成等差数列，那么应满足什么条件？ 由等差数列的定义，有，所以，即. 此时我们把叫做的等差中项. 的等差中项是它们的算数平均数. 2、等差数列的通项公式 问题2：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？ 设等差数列{}的首项为，公差为，则由定义可得： = 追问1：你能根据递推公式，写出等差数列的通项公式吗？ 由 = ，可得 = , = ,…. 于是 = + , = + , = + , 归纳可得 = , 当时， 上式为 = 综上所述， = 成立. 首项为 ，公差为的等差数列{}的通项公式为： = （ ）. 追问2：还有其他方法可以推导出等差数列的通项公式吗？ = = = = = 1个等式 1个等式进行累加，得 . 即 = （ ）. 3、等差数列与函数的关系 问题3：观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？ 因为 = ， 所以当=0时， = 是常数函数； 所以当≠0时， 是一次函数()当()时的函数值，即 = 追问1：等差数列{} 的图象与一次函数的图象有什么关系？ 等差数列{}：离散的点 一次函数：过这些点的直线 斜率是，截距是 追问2：由一次函数得到的数列一定是等差数列吗？ 任给，则， ； ， ，… ， 所以，数列{}是以为首项， 为公差的等差数列. 数列{}是公差不为0的等差数列的充要条件： 数列的是的一次函数. 追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ 当0时，等差数列{}单调递增； 当0时，等差数列{}单调递减； 当0时，等差数列{}为常数列. 三、巩固新知 例1 写出以下等差数列的通项公式. （1）5，9，13，17，21. （2）9，7，5，3，1，-1. （3）6，6，6，6，6，6. = 4=4+1 = (-2)=-+11 =66 例2 已知等差数列{}的通项公式为，求等差数列{}的首项和公差. 解法一:把代入通项公式， 当时，. 于是= = . 所以，数列 {}的首项为3，公差为-2. 解法二:把代入通项公式， 于是= = . 所以，数列 {}的首项为3，公差为-2. 小结：由于等差数列通项公式是关于的一次函数，即 = = . 一次项系数即为公差，可以直接从通项公式看出公差的值. 例3 求等差数列8，5，2，…，的通项公式和第20项，并判断-28