22.1.1二次函数 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.1 二次函数 22.1 二次函数的图像和性质 一次函数：y＝kx＋b (k ≠ 0). 正比例函数：y＝kx (k ≠ 0). 反比例函数：y＝k/x (k ≠ 0). 你知道吗？ 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系： （1）圆的面积 y cm2 与圆的半径 x cm. （2）某商店 1 月份的利润是 2 万元，2、3 月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为 x，3 月份的利润为 y. 合作学习，探索新知： 解：（1）y＝πx2. （2）y＝2(1＋x)2. （3）一个温室的平面图如图，温室外围是一个矩形，周长为 120 m， 室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x m， 种植面积为 y m2. 1 1 1 3 x 合作学习，探索新知： 解：由题得：y＝(60－x－4)(x－2). （1）y＝πx2. （2）y＝2(1＋x)2 ＝2x2＋4x＋2. （3）y＝(60－x－4)(x－2) ＝－x2＋58x－112. 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 经化简后都具有 y＝ax2＋bx＋c 的形式 (a、b、c 是常数，且 a ≠ 0). 合作学习，探索新知： 我们把形如 y＝ax²＋bx＋c (其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做二次函数. 称：a 为二次项系数，ax2 叫做二次项. b 为一次项系数，bx 叫做一次项. c 为常数项. 又例：y＝x2＋2x－3.请同学们说出它的二次项系数，一次项系数，常数项分别是多少？ 总结： 1.下列函数中，哪些是二次函数？ 怎么判断？ （1）y＝3(x－1)²＋1 （3）s＝3－2t² （5）y＝(x＋3)²－x² （6）v＝10πr² （是） （否） （是） （否） （否） （是） （7）y＝x²＋x³＋25 （8）y＝2²＋2x （否） （否） 在实践中感悟 判断是否为二次函数的解题思路： 归纳小结 先化简，后判断. 举例：⑤ y＝(x＋3)²－x²＝x²＋6x＋9－x²＝6x＋9. 所以 ⑤ 不是二次函数. 练一练 1.请举 1 个符合以下条件的 y 关于 x 的二次函数的例子. （1）二次项系数是一次项系数的 2 倍，常数项为任意值. （2）二次项系数为－5，一次项系数为常数项的 3 倍. 例：y＝12x2－6x－26. 例：y＝－5x2－6x－2. 2.函数 y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数)，当 a、b、c 满足什么条件时： （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？ 解： （1）当 a ≠ 0 时，它是二次函数. （2）当 a＝0，b ≠ 0 时，它是一次函数. （3）当 a＝0，b ≠ 0，c＝0 时，它是正比例函数. 练一练 下列函数中，哪些是二次函数？ 小试牛刀 答：①、③是. 2.如果函数 是二次函数， 则 k 的值一定是_____. 0 1.如果函数 是二次函数， 则 k 的值一定是_______. 0 或 3 敢于创新 解析：1.令 k2－3k＝0.解得 k1＝0，k2＝3. 2.令 k2－3k＝0，且 k－3 ≠ 0.解得 k＝0. 3.若函数 为二次函数，求 m 的值. 解：因为该函数为二次函数， 则： 由 ① 得：m＝2 或－1， 由 ② 得：m ≠ －1， 所以：m＝2. 注意：二次函数的二次项系数不能为零. 敢于创新 敢于创新 4.若函数 为二次函数，求 m 的值. 解：因为该函数为二次函数， 则： 由 ① 得：m＝3 或－1， 由 ② 得：m ≠ －1， 所以：m＝3. 知识的升华 1.已知函数 . （1）k 为何值时，y 是 x 的一次函数？ （2）k 为何值时，y 是 x 的二次函数？ 解：（1）根据题意得： （2）当 k2－k ≠ 0，即 k ≠ 0 且 k ≠ 1 时，y 是 x 的二次函数. 得 k＝1时，y 是 x 的一次函数. 2.已知二次函数 y＝x2＋px＋q，当 x＝1 时，函数值是 4；当 x＝2 时，函数值是－5.求这个二次函数的解析式. 知识的升华 解：由题意得：1＋p＋q＝4， 4＋2p＋q＝－5. 解得： p＝－12，q＝15. 所求二次函数为：y＝x2－12x＋15. 求函数解析式的关键是什么？ 确定函数解析式的系数. 常用待定系数法. 归纳小结 若 y 是关