5.1任意角和弧度制学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1 任意角和弧度制 ●任意角 1.角的概念及其表示 角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .如图， (1)始边：射线的 位置OA； 终边：射线的 位置OB； 顶点：射线的端点O. (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 正角：一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 零角：一条射线 做任何旋转形成的角 3.角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 . 4.角的加法 设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 . 5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角 叫做互为 ，角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ . 例题1：如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ . 变式练习： 1、图①②中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度α，β，γ分别是 ， ， . 6.象限角： （1）我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是 限角. （2）如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 注意：(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限； (2)每一个象限都有正角和负角，无法比较哪一个象限角的大小. 例题2： (多选)下列结论正确的有 A.－75°是第一象限角 B.225°是第三象限角 C.475°是第二象限角 D.－315°是第四象限角 变式练习： (多选)下列叙述不正确的是 A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 6.终边相同的角 思考：给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 结论：给定一个角，它的终边 ；两角终边相同，这两个角 相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°. 因此：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 例题3： 在与2 110°角终边相同的角中，求满足下列条件的角β. (1)最大的负角； (2)最小的正角； （3）在360°～720°范围内的角. 归纳：终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式. (2)终边相同的角相差360°的整数倍. 变式训练3：(1)写出终边在直线y＝-x上的角的集合. (2)与－2 024°角终边相同的最小正角是( ) A.136° B.132° C.58° D.42° (3)若角2α与240°角的终边相同，则α等于( ) A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈Z C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z 7.终边相同的角 思考　你能否表示出终边落在各个象限的角的集合？ 例题4：已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围. 变式训练1.若将本例题图改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 变式训练2.已知α是第一象限角. (1)2α是第几象限角？ (1) 是第几象限角？ 变式训练3.如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角θ的集合. 小结：1.知识清单： (1)正角、负角、零角的概念. (2)终边相同的角的表示. (3)象限角、区域角的表示. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°的角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z. 当堂测试 1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系