1.1 从自然数到有理数 讲义 2023—2024学年浙教版数学七年级上册

1.1从自然数到有理数 章节引言 数是数学的基础，数学的发展也是伴随着数的发展而不断前行的。数不仅仅就是1、2、3、4…那么简单，数的王国中也蕴藏着令人惊奇的规律和无数的未解之谜。本章将带您走进数的世界，一同回顾数的发展历史，一同体会数的神奇，一同在数的王国中体会题目的乐趣…… 数的发展史—节选自《那些令人脑洞大开的数学》 从结绳记事说起——数的发展史 我们每天都会接触到各种数字，无论是买东西时的支付转账，还是日历卡片上的年月日期，抑或是开车时里程表上显示的时速等等，数字布满了我们生活中的每个角落。但你是否想过，我们今天再熟悉不过的数字是怎样发展而来的？数字作为数学的基础，它的发展史实际上就是一部数学的发展史，所以学习数学应该从认识数字开始。本节就带大家来了解一下数的由来，一同回顾数的发展史。从结绳记事到阿拉伯数字在远古时期，人类也跟其他动物一样没有数的概念。但是与其他动物最大的区别在于人可以直立行走并且可以使用双手进行生产劳动。在生产劳动过程中，人们不免需要记录一些信息，例如，今天捕获了多少只动物，今天摘到多少个果子等等。因此数的概念在人们的生产实践中逐渐产生。人们记录数目的方法种类繁多，大都是根据自己生活环境的不同就地取材。有的使用石子计数，有的使用贝壳计数，有的则在树皮或石头上刻线计数。但是最为出名的一种计数方法就是“结绳记事”。所谓结绳记事就是人们采用在绳子上打结的方法记录事情，如图1-1所示。绳子有粗有细，上面的绳结有大有小，分别表示不同的事情。在没有文字的时代，结绳记事既是记录事情的有效工具，同时也是记录数目的重要手段。 随着人们生产力水平的提高，计数量也越来越大。上述这些原始的计数方法已不能满足人类的需求，数字由此应运而生。罗马数字是其中比较有代表性的一类。罗马数字的符号共有7个，分别是：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。这7个符号不论在位置上怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照一定的规律组合起来就能表示任何数字。一些老式的钟表仍然使用罗马数字标注时间，如图1-2所示。 但是罗马数字的计数规则比较复杂，既不利于阅读也不利于计算。相比之下，古代中国的算筹要显得更为先进和科学。所谓算筹就是一种竹制或骨质的小棍，按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来计数和运算。随着算筹的普及，这种算筹的摆法就成为一种计数符号，也用来表示数字。使用算筹进行计算的方法称为筹算。在珠算发明之前，筹算是我国古代最为流行和常用的一种算数方法。筹算的发明为中国数学的发展做出了不可磨灭的贡献。值得一提的是，从图1-3中可以看到，算筹的数码中没有10的数码。这说明筹算是严格遵循十进制的。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就表示几百，放在千位上就表示几千。这样的计数法在当时世界范围内是非常先进的，因为其他国家真正使用十进制计数已到了公元6世纪末，而我国早在春秋战国时期（公元前770年-公元前221年）就开始使用算筹计算了，足见中国古圣先贤的智慧！ 我们熟知的阿拉伯数字是在公元3世纪由印度科学家首先发明的，据说最初的阿拉伯数字只能计数到3，后经古鳊人在此基础上加以改进，才发明了表达数字的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个符号，以此作为计数的基础。阿拉伯数字真正从印度传到阿拉伯半岛是在阿拉伯人建立了阿拉伯帝国继而征服了北印度旁遮普地区之后的事了。相传印度北部的一些数学家被阿拉伯人掳到巴格达，并强迫他们给当地人传授印度的数学。阿拉伯人惊奇地发现印度的数字和计算方法既简便又快捷，这对善于经商的阿拉伯人来说无疑是个天大的礼物。所以阿拉伯人接受了印度的数字，并将其推广到全世界。这就是为什么虽然我们现在使用的数字符号起源于印度，但是一直被称作阿拉伯数字的原因。其实早期的阿拉伯数字并不是我们现在使用的样子，现代全球通用的阿拉伯数字的结构是欧洲人改进后的写法。我国曾在20世纪50年代和20世纪60年代先后出土了元代人铸造的阿拉伯幻方和明代人书写的阿拉伯数字，可以看到早期的阿拉伯数字跟我们现代使用的阿拉伯数字差异还是很大的，如图1-4和图1-5所示。 从自然数到有理数 无论哪个国家、哪个地区、哪个民族，数字的发展都是从1，2，3…这样的自然数开始的，因为抽象的自然数直接对应着具体的事物，如图1-6所示。 自然数与具体事物相对应所以自然数是最直接、最客观的数量表达。但是人们在生产生活中逐渐发现，单纯的自然数是无法完全满足需求的。例如，如果在分配猎物时5个人分4只猎物，每个人应该得多少呢？10千克粮食4个人分，一个人又能分得多少？这些数量都不是能够用自然数表示的，于是分数的概念便逐渐产生。值得一提的是，中国很早就对分数有了十分深刻的研究，这要比欧洲早上1400多年！