2024年中考数学高频考点突破——二次函数与正方形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与正方形 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接DB. (1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)点M是抛物线上的动点,设点M的横坐标为m. ①当∠MBA=∠BDE时,求点M的坐标; ②过点M作MN∥x轴,与抛物线交于点N,P为x轴上一点,连接PM,PN,将 PMN沿着MN翻折,得 QMN,若四边形MPNQ恰好为正方形,直接写出m的值. 2.如图,在平面直角坐标系中,边长为的正方形的顶点、分别在轴正半轴、轴的负半轴上,二次函数的图象经过、两点. 求该二次函数的顶点坐标; 结合函数的图象探索:当时的取值范围; 设,且,两点都在该函数图象上,试比较、的大小,并简要说明理由. 3.在平面直角坐标系中,正方形,,,,按如图的方式放置.点,,,,和点,,,,分别落在直线和轴上.抛物线过点,,且顶点在直线上,抛物线过点,,且顶点在直线上,,按此规律,抛物线过点,,且顶点也在直线上,其中抛物线交正方形的边于点,抛物线交正方形的边于点,,抛物线交正方形的边于点(其中且为正整数). (1)直接写出下列点的坐标: , , ; (2)写出抛物线、的解析式,并写出其中一个解析式求解过程,再猜想抛物线的顶点坐标 (3)设,,试判断与的数量关系并说明理由. 4.如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,直线l经过点A和点C,连接BC.将直线l沿着x轴正方形平移m个单位得到直线,交轴于点D,交BC于点E,交抛物线于点F. (1)求点,点和点的坐标 (2)如图2,将沿直线翻折得到,求点的坐标(用含的代数式表示); (3)在(2)的条件下,当点落在直线上时,请直接写出点的坐标 5.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(0,1)、B(4,3)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)求tan∠ABO的值; (3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,点M是抛物线上的一个动点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出M点的横坐标; (4)已知点E为抛物线上位于第二象限内任一点,且E点横坐标为m,作边长为10的正方形EFGH,使EF∥x轴,点G在点E的右上方,那么,对于大于或等于﹣1的任意实数m,FG边与过A、B两点的直线都有交点,请说明理由. 6.定义一种变换:平移抛物线得到抛物线,使经过的顶点.设的对称轴分别交于点,点是点关于直线的对称点. (1)如图1,若:,经过变换后,得到:,点的坐标为,则①的值等于_; ②四边形为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 (2)如图2,若:,经过变换后,点的坐标为,求的面积; (3)如图3,若:,经过变换后,,点是直线上的动点,求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值. 7.如图1,在平面直角坐标系中,拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F(16,0)、与y轴正半轴交于点E(0,16),边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合,顶点A与点E重合,顶点C与点F重合; (1) 求拋物线的函数表达式; (2) 如图2,若正方形ABCD在平面内运动,并且边BC所在的直线始终与x轴垂直,抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时,点P不与A、B两点重合,点Q不与C、D两点重合).设点A的坐标为(m,n) (m>0). j当PO=PF时,分别求出点P和点Q的坐标; k在j的基础上,当正方形ABCD左右平移时,请直接写出m的取值范围; l当n=7时,是否存在m的值使点P为AB边中点.若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由. 8.已知抛物线与x轴有公共点. (1)当y随x的增大而增大时,求自变量x的取值范围; (2)将抛物线先向上平移4个单位长度,再向右平移n个单位长度得到抛物线(如图所示),抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.当OC=OA时,求n的值; (3)D为抛物线的顶点,过点C作抛物线的对称轴l的垂线,垂足为G,交抛物线于点E,连接BE交l于点F.求证:四边形CDEF是正方形. 9.若二次函数的图象经过点,,其对称轴为直线,与x轴的另一交点为C. (1)求二次函数的表达式; (2)若点M在直线上,且在第四象限,过点M作轴于点N. ①若点N在线段上,且,求点M的坐标; ②以为对角线作正方形(点P在右侧),当点P在抛物线上时,求点M的坐标. 10.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,(点在点的左侧),交轴于点,且经过点. (1)求抛物线的解析式及点,的坐标; (2)在平面直角坐标系中,是否存在点,使是等腰直