2024年中考数学高频考点突破——二次函数与直角三角形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与直角三角形 1.定义:在平面直角坐标系xOy中,直线y=a(x﹣m)+k称为抛物线y=a(x﹣m)2+k的关联直线. (1)求抛物线y=x2+6x﹣1的关联直线; (2)已知抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,求这条抛物线的表达式; (3)如图,顶点在第一象限的抛物线y=﹣a(x﹣1)2+4a与它的关联直线交于点A,B(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C,连结AC、BC.当 ABC为直角三角形时,求a的值. 2.如图,已知直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过y=ax2+bx+c经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D. (1)若抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N. ①求点M、N的坐标; ②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由; (2)当点P的横坐标为2时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 3.已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C. (1)求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函数关系式及点C的坐标; (2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使 PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当 OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标. 4.如图,在平面直角坐标系中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经 过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点M是抛物线C2:(<0)的顶点. (1)求A、B两点的坐标; (2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得 PBC的面积最大?若存在,求出 PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)当 BDM为直角三角形时,求的值. 5.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D. (1)求抛物线的解析式; (2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标; (3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值. 6.如图1,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(﹣1,0)和点B(3,0). (1)求该抛物线所对应的函数解析式; (2)如图2,该抛物线与y轴交于点C,顶点为F,点D(2,3)在该抛物线上. ①求四边形ACFD的面积; ②点P是线段AB上的动点(点P不与点A、B重合),过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q,连接AQ、DQ,当 AQD是直角三角形时,求出所有满足条件的点Q的坐标. 7.已知抛物线的表达式是y=ax2+(1﹣a)x+1﹣2a(a为不等于0的常数),上述抛物线无论a为何值始终经过定点A和定点B;A为x轴上的点,B为第一象限内的点. (1)请写出A,B两点的坐标:A( ,0);B( , ); (2)如图1,当抛物线与x轴只有一个公共点时,求a的值; (3)如图2,当a<0时,若上述抛物线顶点是D,与x轴的另一交点为点C,且点A,B,C,D中没有两个点相互重合. 求:① ABC能否是直角三角形,为什么? ②若使得 ABD是直角三角形,请你求出a的值.(求出1个a的值即可) 8.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示.已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,l).若此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C. (1)试求a,b所满足的关系式; (2)当 AMC的面积为 ABC面积的倍时,求a的值; (3)是否存在实数a,使得 ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由. 9.已知:直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P为抛物线上一点,且点P在AB的下方,设点P的横坐标为m. ①试求当m为何值时, PAB的面积最大; ②当 PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,问在直线PD上否存在点Q,使 QBC为直角三角形?若存在,直接写出符合条