第三章 函数概念与性质知识点-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 1． 函数的概念及其表示 1. 同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2. 函数定义域 (1) 常见函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于0. ② 偶次根式函数的被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R. ④ 零次幂的底数不能为0. ⑤ y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. ⑥ 的定义域为{x|x＞0}． ⑦ 的定义域为 （2）抽象函数 ① 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ② 若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x[a，b]时的值域． 注：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两 点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； 3. 基本初等函数的值域 ① 的值域是. ② 的值域：当时，值域为；当时，值域为 ③ 的值域是． ④ 的值域是（0，＋∞）． ⑤ 的值域是. ⑥ 与的值域为[-1，1]；的值域为. 4. 函数的图象变换 （1）平移变换（其中,记为：“左加右减，上加下减”） （2）对称变换 （3）翻折变换 二．单调性与最大（小）值 1. 判断函数的单调性 （1）若，，则函数是单调增函数， 若，，则函数是单调减函数， 若，，则函数是单调减函数， 若，，则函数是单调增函数； （2）若或，则函数是单调增函数； 若或，则函数是单调减函数； 2. 函数单调性的判定与证明 利用定义证明函数在给定的区间D上的单调性的一般步骤 3. 函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； 4. 常见函数的单调性： ① 一次函数的单调性：时，在上单调递增；时，在上单调递减； ② 反比例函数的单调性：时，单调递减区间和；时，单调递增区间和； ③ 二次函数的单调性：时，单调递减区间，单调递增区间；时，单调递减区间，单调递增区间 ④ 的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ⑤ 对勾函数（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 5.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性——同增异减。 外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. ①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； ②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； 6. 抽象函数单调性的判断方法 （1）“和型”（） 判定符号时的变形为 或 （2）“积型” 判定符号时的变形为： 或 三．奇偶性 1. 奇、偶函数的性质 奇函数 偶函数 定义域关于原点对称 随的变号而变号 随的变号而不变号 图象关于原点对称 图象关于轴对称 在原点两侧的对称区间上的单调性相同 在原点两侧的对称区间上的单调性相反 若在处有定义，则 是既奇又偶函数 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 2. 函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． 3. 常见奇偶性函数模型 常见的奇函数 (且) (1) ； (2)(为奇数)； (3)； (4)； (5)函数或函数； (6) 函数或函数． (7) 函数，函数； (8) 函数，函数， (9) 函数， 常见的偶函数： (1)函数； (2)(为偶数)； (3) (4) 函数． (5) 函数类型的一切函数． (6) 常数函数 4. 函数图象的对称性 ① 函数的图象关于点P成中心对称图形的