精品解析：上海市三林中学东校2023-2024学年高二上学期12月阶段性测试数学试题

高二年级第一学期12月阶段性数学测试试卷 一、填空题（3*12） 1. 已知A是一个事件，则P(A)________． 2. 已知，则向量与的夹角为________． 3. 将一枚硬币抛掷3次，则至少出现一次正面概率为______. 4. 已知圆锥的底面直径为，体积是，则圆锥侧面积等于___________. 5. 若球的表面积为，球心到平面的距离为4，则平面截球所得圆面面积为___________. 6. 小鹿同学抛一枚质量均匀硬币，抛了2023次都是正面朝上，那他抛第2024次正面朝上的概率为________． 7. 已知点，则的面积为__________. 8. 已知函数定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为__． 9. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 10. 在集合中任取一个元素，所取元素恰好是满足方程的概率是______． 11. 如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则___________. 12. 若一个五位数恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增），则称其为“古典数字”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有________个 二、选择题（3*4） 13. 同时掷两枚硬币，出现“一枚正面朝上、一枚反面朝上”的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 已知：“是长方体”，：“是直平行六面体”，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 2个男生和1个女生随机排成一排，则2个男生相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，已知正方体棱长为1，点在棱上，且，在侧面内作边长为的正方形是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（8+10+10+12+12） 17. 已知空间中三点，，.设，. （1）求和； （2）若与互相垂直，求实数的值. 18. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，. （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，在边长为4正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 20. 由数字1，2，3，4构成的两位数中抽取一个，求： （1）所抽到数为偶数的概率； （2）所抽到数为3的倍数的概率； （3）所抽到数的个位和十位不相同的概率． 21. 如图，在正三棱柱中，是的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级第一学期12月阶段性数学测试试卷 一、填空题（3*12） 1. 已知A是一个事件，则P(A)________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件的概率的性质直接填空即可 【详解】解：P(A)表示事件A发生的概率，所以， 特别地：当A为必然事件时，； 当A不可能事件时，. 故答案为：. 2. 已知，则向量与的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案. 【详解】， 则为锐角，所以. 故答案为： 3. 将一枚硬币抛掷3次，则至少出现一次正面的概率为______. 【答案】 【解析】 【详解】解析过程略 4. 已知圆锥的底面直径为，体积是，则圆锥侧面积等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的高为，母线长为，利用圆锥的体积公式可求得该圆锥的高，进而可求得圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的高为，母线长为， 因为该圆锥的底面直径为，则该圆锥的体积为，可得， 所以，该圆锥的母线长为， 所以，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 5. 若球的表面积为，球心到平面的距离为4，则平面截球所得圆面面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，平面截球所得圆的半径，根据题意结合球的性质分析求解. 【详解】设球的半径为，平面截球所得圆的半径， 由题意可得，解得， 所以平面截球所得圆面面积为. 故答案为：. 6. 小鹿同学抛一枚质量均匀的硬币，抛了2023次都是正面朝上，那他抛第2024次正面朝上的概率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】独立事件概率互不影响，所以他不论抛多少次，正面朝上的概率都是固定的. 【详解】每次抛硬币都是