17.1.1勾股定理 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

17.1 勾股定理 勾股定理 R·八年级数学下册 复习回顾 我们学习了直角三角形的哪些性质？ 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半. 直角三角形还有哪些性质？ 探索新知 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客…… 带着发现的眼睛. 图中三个正方形面积貌似有着某种关系. A B SC=SA+SB a b c2=a2+b2 在等腰直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和. C c 探究直角三角形三边的关系 A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 4 9 13 9 25 34 A,B,C的面积关系 SA+SB=SC 直角三角形三边关系 a2+b2=c2 探究 猜一猜：直角三角形三边之间应该有什么关系？ 猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 探究 利用拼图来验证猜想： 1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）. 2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！ a b c a b a c b c a b 大正方形的面积可以表示为c2. 也可以表示为 . 4× ab+(b-a)2 ∵c2=4× ab+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴c2=a2+b2 赵爽弦图 朱实 黄实 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 此结论被称为“勾股定理”. 古希腊数学家毕达哥拉斯，在公元前5世纪给出了这个定理的证明，所以在国外这个定理也称为毕达哥拉斯定理，相传他证出这个定理后非常高兴，宰了一百头牛进行庆祝，于是也有人把它称为“百牛定理”. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2. 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2. 勾股定理 勾股定理和人类文明 我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．在我国勾股定理也叫做“商高定理”. 毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法 重新组合 勾股定理的证明 S左=a2+b2+4× ab S右=c2+4× ab ∵S左=S右 ∴a2+b2=c2 加菲尔德：梯形面积法 题设：Rt△ABC≌Rt△CDE 易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形 S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE 即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2 化简得：a2+b2=c2 勾股定理的证明 刘徽：青朱出入图 以直角三角形的勾、股、弦为边，分别作出正方形 勾自乘为朱方 股自乘为青方 弦2=朱方+青方 弦2=勾2+股2 勾股定理的证明 勾股定理在数学发展中起到了重大的作用，其证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究，或到网上查阅勾股定理的相关资料. 勾股定理的证明 练习 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c； （3）已知c=25，b=15，求a. a b c a2+b2=c2 b=8 c=13 a=20 随堂练习 2.如图所示，已知以直角三角形的三边为边长做3个正方形，求出其中问号正方形的面积. 36 100 ？ S=64 3.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 练习 解：根据图形正方形E的边长为: 故E的面积为：252=625. 4.求证：S1+S2=S3. S2 S3 b c S1 a 证明：由圆的面积计算公式可知： S1= πa2，S2= πb2，S3= πc2， 则S1+S2= π(a2+b2)， 在直角三角形中，a2+b2=c2， ∴S1+S2=S3. 如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长. 解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED. ∴AE=C′E, ∴C′E=AD-ED=8-ED. 又在△EC′D中，ED2=C′E2+C′D2. ∴ED2=(8-