18.2.3 正方形 第2课时 正方形的判定 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

正方形的判定 第十八章 平行四边形 正方形的自我介绍:在四边形的大家庭中,我有四个兄弟. 老大是平行四边形,它性格温和;老二是矩形,它稳重大方,江湖上人称长方形;老三是菱形,它活泼可爱.我就是正方形老四,我集三位大哥的优点于一身,人见人爱. 回顾导入 到目前为止,我们已经认识了四边形大家庭的成员,前一课时,我们大致介绍了矩形、菱形、平行四边形与正方形的关系,并给出了下面的结构图. 回顾导入 平行四边形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 正方形 可以看到矩形、菱形各添加一个条件都能得到正方形,那么这个是否可以证明呢? 我们这节课来看下. 回顾导入 平行四边形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 正方形 我们来看下面这个问题: 正方形的判定 探究点 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形 把一张矩形的纸片按图中那样折一下,是否可以截出正方形纸片? 正方形的判定 探究点 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形 答案是肯定的,它的依据就是有一组邻边相等的矩形是正方形. 下面我们进行证明: A D B C 已知:矩形ABCD中,AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形. ∴AB=DC,AD=BC, ∠A=∠B=∠C=∠D=90 . 又AB=BC, ∴AB=BC=CD=DA. ∴四边形ABCD是正方形. 归纳总结:有一组邻边相等的矩形是正方形 探究点 正方形的判定 我们再来看一个问题: 正方形的判定 探究点 2. 有一个角是直角的菱形是正方形 把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图),能否得到正方形? 正方形的判定 探究点 2. 有一个角是直角的菱形是正方形 可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一个角,就能得到正方形. 正方形 下面我们进行证明: A D B C 已知:菱形ABCD中,∠A=90 . 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是菱形. ∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠C,∠B=∠D. 又∠A=90 , ∴易得∠A=∠B=∠C=∠D=90 . ∴四边形ABCD是正方形. 归纳总结:有一个角是直角的菱形是正方形 探究点 正方形的判定 正方形的判定 探究点 在上面的证明过程中,是分别从矩形、菱形出发,添加边或角的条件后得到正方形,那么还有没有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他判定正方形的方法呢? 大家想一想. 正方形的判定 探究点 从四边形出发 (1)四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 (2)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 从平行四边形出发 (1)有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 (2)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 从矩形出发 对角线互相垂直的矩形是正方形 从菱形出发 对角线相等的菱形是正方形 归纳总结: 正方形的判定 探究点 思考:上面给出了正方形的一些判定方法,这也蕴含了他们之间的转换关系,那么正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系呢? 与同学们讨论交流,并列表或用框图表示这些关系. 正方形的判定 整理归纳 正方形 平行四边形 矩形 菱形 进一步地,四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形有什么关系? 有兴趣的同学可以整理下. 1. 如图,在 ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC, CA上,且DE∥CA, DF∥BA. (1)四边形AEDF是 ; (2)如果∠BAC=90 ,那么四边形AEDF是 ; (3)如果AD 平分∠BAC,那么四边形AEDF是 ; (4)如果∠BAC=90 ,AD平分∠BAC,那么四边形 AEDF是 . 对应训练 平行四边形 正方形 A D B C E F D 矩形 菱形 2. 满足下列条件的四边形是不是正方形?为什么? (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形; (2)对角线互相垂直的矩形; (3)对角线相等的菱形; (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. 对应训练 是 是 是 是 例 如图,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交对角线AC于点E,EF⊥AB, EG⊥BC,垂足分别是F,G.判断四边形EFBG的形状,并证明你的结论. 例题精析 A D B C E F G 解:四边形EFBG是正方形. 证法1:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90 . 又EF⊥AB,EG⊥BC,∴∠BFE=∠BGE=90 , ∴四边形EFBG是矩形. ∵BE为∠ABC的平分线, ∴EF=EG, ∴矩形EFBG是正方形. 例题精析 A D B C E F G 证法2:如图.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90 . ∵BE为∠ABC的平分线,EF⊥AB,EG⊥BC, ∴∠1=∠2=45 ,EF=EG. ∴∠3=∠4=45 , ∴