17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

勾股定理的逆定理的应用 R·八年级数学下册 1 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2． 命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形． 复习回顾 利用勾股定理的逆定理解决实际问题 知识点 例 2　如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q、R 处，且相距 30 n mile. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 1 2 N E P Q R 【思考】1.已知哪些条件？ 2.需要解决的问题是什么？ 速度已知 时间已知 距离已知 其中一艘船的航向已知 求另一艘船的航向 1 2 N E P Q R 【分析】 通过已知条件可以求出： PQ PR QR ∠1 利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角 从而确定∠2的度数 1 2 N E P Q R 解：根据题意， PQ = 16×1.5 = 24， PR = 12×1.5 = 18，QR = 30. 因为 242 + 182 = 302， 即PQ2 + PR2 = QR2，所以∠QPR = 90°. ∠1 = 45°.因此∠2 = 45°， 即“海天”号沿西北方向航行. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20，BC = 15，CD = 7，AD = 24，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积. 解：如图，连接 AC. ∵∠B = 90°，AB = 20，BC = 15， ∴AC2 = AB2 + BC2 = 202 + 152 =625. ∵AD2 + CD2 = 242 + 72 =625， ∴AC2 = AD2 + CD2， ∴△ADC 是直角三角形，且∠D 是直角. ∴S四边形ABCD = S△ABC + S△ADC = AB·BC + AD·CD = ×20×15 + ×24×7 = 234. A B C D 转化思想 练习 1. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段 组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形. ∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2， 由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 2. 说出下列命题的逆命题. 这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立. 其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立. 如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3. （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平 分线上. 其逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”；这个命题不成立. 其逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等”；这个命题成立. 3. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地 的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 解：由图知：△ABC 中，AB = 12，BC = 5，AC = 13. ∵ AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，∴AB2 + BC2 = AC2， 由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形，且∠B = 90°. ∵A 地在 B 地的正东方向， ∴C 地在 B 地的正北方向. 复习巩固 1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a = 7，b = 24，c = 25； ∵ a2 + b2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625，c2 = 252 = 625， ∴ a2 + b2 = c2. 由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 习题 （2）a = ，b = 4，c = 5； ∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 24 = 41，a2 = ( )2 = 41， ∴b2 + c2 = a2. 由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. （3）a = ，b = 1，c = ； ∵b2 + c2 = 12 + ( )2 = 1 + = ，a2 = ( )2 = ， ∴ b2 + c2 = a2. 由勾股定理的逆定