17.2.1 勾股定理的逆定理 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

勾股定理的逆定理 R·八年级数学下册 1 据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 导入新课 【故事导入】 你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因. 问题引入，自主探究 探究点 1 勾股定理的逆定理 类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果. （1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形. 是直角三角形 （2）类似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形. 是直角三角形 （3）结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形，用命题形式表述. 如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 3 cm，4 cm，5 cm 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 这两个命题的题设、结论分别是什么？ 命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形． 探究点 2 互逆命题和互逆定理 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2． 题设 结论 题设 结论 我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 题设A 结论B ① 题设B 结论A ② 原命题 逆命题 互逆命题 互逆命题 A B C a b c A′ B′ C′ a b c ① 如图①，已知：在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，并且 a2 + b2 = c2，怎么证明△ABC 是直角三角形呢？ 如图②，画一个 Rt△A′B′C′ 中，使B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°. △ABC 与△ A′B′C′ 全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？ ② 互逆定理 根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2. ∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，BC = a = B′C′，AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）. ∴∠C=∠C′=90°， 即△ABC 是直角三角形. A B C a b c A′ B′ C′ a b c ① ② 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 定理：内错角相等，两直线平行； 逆定理：两直线平行，内错角相等； 互为逆定题 归纳总结 勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？ 不一定.比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 例 1　判断由线段 a，b，c 组成的三角形 是不是直角三角形： （1）a = 15，b = 8，c = 17； （2）a = 13，b = 14，c = 15. 解：（1）因为 152 + 82 = 225 + 64 = 289， 172 = 289， 所以 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. （2）因为 132 + 142 = 169 + 196 = 365， 152 = 225， 所以 132 + 142 ≠ 152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形. 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 【对应训练】 1. 以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形 的有（ ） ① 5，12，13； ② 1，2，4； ③ 32，42，52； ④ 0.3，0.4，0.5. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个