16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 课件　2023—2024学年人教版数学八年级下册

R·八年级数学下册 16.1 二次根式 二次根式的概念 你能说出下列问题的结果吗？ （1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？ （2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？ （3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？ 平方根的性质： 1.正数有两个平方根且互为相反数； 2. 0的平方根是0； 3.负数没有平方根； 4.非负数a的平方根表示为 . 复习回顾 你能说出下列问题的结果吗？ （1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？ （2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？ （3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？ 1.正数只有一个算数平方根； 2. 0的算术平方根是0； 3.负数没有算术平方根； 4.非负数a的算术平方根表示为 . 算术平方根的性质： 复习回顾 填一填： （1）面积为3的正方形的边长为_____，面积为S的正方形的边长为_____. （2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____． 探索新知 观察：上面问题的结果分别是 ， ， ， . （1）这些式子表示的意义是？ 分别表示3，S，65， 的算术平方根． （2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2； 含有“ ”. ②被开方数为非负数. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. a叫做被开方数. 二次根式 的两个必备特征 1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）； 2.被开方数必须是非负数. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： (m<0) 6 分析： 是否含二次根号 是 被开方数是否为非负数 是 是二次根式 否 不是二次根式 否 √ √ √ √ 1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2.它的长、宽各应取多少？ 解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，由题意得2x×3x=18，解得x1= ， x2= (舍). 答：它的长取 cm，宽取 cm. 练习 例1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 二次根式 有意义的条件是：被开方数为非负数，即a≥0. 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） x可以为任意实数 x≥0 x可以为任意实数 x＞0 x＞﹣1 x≤1且x≠0 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0. 2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0. a≥1 a≥ a≤0 a≤5 练习 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 归纳小结 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）. A. B. C. D. B D 2.二次根式 中，字母x的取值范围是（ ）. A.a＜2 B.a≤2 C.a≥2 D.a＞2 随堂练习 3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； 解：根据题意可得-x2+2x-1≥0， ∴-(x2-2x+1)≥0. ∴x2-2x+1≤0. ∴(x-1)2≤0. ∵(x-1)2≥0， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. （2） . 解：根据题意可得-x2-2x-3≥0， ∴-(x2+2x+3)≥0. ∴x2+2x+3≤0. ∴(x+1)2+2≤0. ∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0. ∴无论x为何实数，