4.4.3不同增长函数的差异 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.3 不同增长函数的差异 第四章 指数函数与对数函数 我们看到,一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上,这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此,如果把握了不同函数增长方式的差异,那么就可以根据现实问题的增长情况,选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 提出问题 虽然它们都是增函数,但增长方式存在很大差异,这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 我们仍然采用由特殊到一般,由具体到抽象的研究方法. 下面就来研究一次函数f(x)=kx+b,k>0 ,指数函数g(x)=ax(a>1) , 对数函数 在定义域内增长方式的差异. 问题探究 以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 分析:(1) 在区间(-∞,0)上,指数函数y=2x值恒大于0,一次函数y=2x值恒小于0,所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术,在同一直角坐标系内列表、描点作图如下: x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 y=2x y=2x 问题探究 (3) 观察两个函数图象及其增长方式: 结论1:函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4) 结论2:在区间(0,1)上,函数y=2x的图象位于y=2x之上 结论3:在区间(1,2)上,函数y=2x的图象位于y=2x之下 结论4:在区间(2,3)上,函数y=2x的图象位于y=2x之上 综上:虽然函数y=2x与y=2x都是增函数,但是它们的增长速度不同,函数y=2x的增长速度不变,但是y=2x的增长速度改变,先慢后快. 问题探究 请大家想象一下,取更大的x值,在更大的范围内两个函数图象的关系? 思考:随着自变量取值越来越大,函数y=2x的图象几乎与x轴垂直,函数值快速增长,函数y=2x的增长速度保持不变,和y=2x的增长相比几乎微不足道. 问题探究 总结一:函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下: 虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增,但它们的增长速度不同. 随着x的增大,y=2x的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=2x的增长速度. 总结一:函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下: 虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增,但它们的增长速度不同. 随着x的增大,y=2x的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=2x的增长速度. 尽管在x的一定范围内,2x<2x,但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长, 因此,总会存在一个x0,当x>x0时,恒有2x>2x. 归纳总结 总结二:一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似. 即使k值远远大于a值,指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0),但总会存在一个x0,当x>x0时, y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度. 归纳总结 分析:(1) 在区间(-∞,0)上,对数函数y=lgx没意义,一次函数值恒小于0,所以研究在 区间(0,+∞)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术,在同一直角坐标系内列表、描点作图如下: x y=lgx 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. y=lgx 问题探究 (3) 观察两个函数图象及其增长方式: 总结一:虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增, 但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+∞)上增长速度不变,y=lgx在 (0,+∞)上的增长速度在变化. 随着x的增大, 的图象离x轴越来越远, 而函数y=lgx的图象越来越平缓,就像与x轴平行一样. y=lgx 问题探究 例如:lg10=1,lg100=2,lg1000=3,lg10000=4; 这表明,当x>10,即y>1,y=lgx比 相比增长得就很慢了. y=lgx 问题探究 思考:将y=lgx放大1000倍,将函数y=1000lgx与 比较,仍有上面规律吗?先想象一下,仍然有. 总结二:一般地,虽然对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增,但它们的增长速度不同. 随着x的增大,一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数 的增长速度越来越慢. 不论a值比k值大多少,在一定范围内, 可能会大于kx,但由于 的增长会慢于kx的增长,因此总存在一个x0,当x