3.2.1函数单调性与最大小值第一课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§3.2.1 函数单调性与最大（小）值（1） 教材选自新人教A版高中数学必修一 学习目标 1.借助函数图像，理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义，能用例子说明“任意、都有”等关键词含义 2.理解函数单调性的本质特征，会运用单调性的定义证明简单函数单调性 1.通过函数单调性定义的生成过程，培养直观想象及数学抽象素养 基础目标 素养目标 2.借助函数单调性的判断与证明，培养逻辑推理及数学运算素养 重难点 函数是一切事物规律变化的本质 一、课前任务单小组汇报 以下是某地的24小时气温变化图，观察图象回答以下问题 问题1：温度T与时间t是否构成函数关系？你能从图象中获取哪些信息？ 问题2：24小时内某地气温T随时间t的变化趋势如何？你能具体描述一下24小时内的气温变化吗？ 一、课前任务单小组汇报 问题2：函数定义域是什么？并说明其y随x增大如何变化？函数图象在定义域内变化趋势一致吗？ 定义域 图象变化趋势 （上升或下降） y随x增大如何变化 变化趋势是否一致 f(x)=x f(x)=x2 追问：函数在定义域内的单调性是单一的吗？据此你认为函数这种变化性质反映的是函数整体性质还是局部性质？ 一、课前任务单小组汇报 函数单调性 局部性质，非整体性质 描述函数的这种变化性质时要注意 明确研究对象的研究范围 （即明确研究区间） 几何直观 形缺数难入微 定性描述 定量描述 二、新知探究，小组释疑   如何借助数学符号语言刻画在 （0，）上“f(x)随x的增大而增大” x1，x2（0，+），当x1<x2 时，有f(x1 )<f(x2) 只有两个点满足以上变化能否说明f(x)在上单调递增？ 如何用不等关系表示 x增大 f(x)增大 x1 < x2 f(x1)< f(x2) x1 x2 f(x1) f(x2) 二、新知探究，小组释疑 三   区间 （-， (0，+) 图象特征 从左向右呈下降趋势 从左向右呈上升趋势 文字语言 y随x增大而减小 y随x增大而增大 符号语言 结论 x1,x2), 当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2) x1,x2, 当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2) f(x)单调递减 f(x)单调递增 二、新知探究，小组释疑 设函数y=f(x)的定义域为D，I⊆D x1，x2I，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) x1，x2I，当x1<x2时，都有f(x1 ) >f(x2 ) 那么就说f(x)在区间I上单调递增； 区间I称为f(x)的单调增区间。 那么就说f(x)在区间I上单调递减； 区间I称为f(x)的单调减区间。 单调区间 二、新知探究，小组释疑 特别地，当函数y=f(x)在它的定义域上单调递增时，那么就称它是增函数。 当函数y=f(x)在它的定义域上单调递减时，那么就称它是减函数。 三、应用提升，归纳构建 六 1.判断正误 （1）f(x)是定义在（a，b）上的函数，若存在x1,x2（a, b） 当x1<x2时，有f(x1)<f(x2),那么f(x)在（a,b）上为增函数 （2）定义在（a,b）上的函数f(x)，若有无穷对x1,x2（a,b） 当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在（a,b）上为增函数 （3）若函数f(x)是区间I上的增函数，且f(x1)<f(x2)（x1,x2I） 则x1<x2 × × √ 三、应用提升，归纳构建 六 2.根据定义，研究函数(k) 的单调性 则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b) =k(x1- x2) 由x1<x2 ，得 x1- x2 <0。所以 ①当k>0时，k(x1- x2)<0 ， 于是f(x1)-f(x2) <0，即f(x1)<f(x2) 这时， f (x)=kx +b是增函数。 ②当k<0时，k(x1- x2)>0 ， 于是f(x1)-f(x2) >0，即f(x1) >f(x2) 这时， f (x)=kx +b是减函数。 证明：函数f (x)=kx +b（k≠0）的定义域是R。 取值 作差 变形 定号 结论 三、应用提升，归纳构建 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 1 取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差:f(x1)－f(x2)； 3 变形:（通常是因式分解或配方或通分或分子有理化等）； 4 定号:（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 结论:（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．