15.4 角的平分线 第2课时课件2023-2024学年沪科版八年级上册数学

第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 角的平分线 第2课时 角平分线的应用 1 1.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点； 2.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等； 3.能运用角的平分线的性质和判定定理解决实际问题. 一、学习目标 二、新课导入 复习旧知 1.会用尺规作角的平分线. 2.角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等. 用数学语言表述： ∵OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE O C B 1 A 2 P D E 二、新课导入 3.角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示为： ∴OP是∠AOB的平分线. O C B 1 A 2 P D E 例1：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到AB、BC、CA的距离相等. 三、典型例题 ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF.（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴PD=PE=PF.（等量代换） 即点P到AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. D E F A B C P N M 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 三、典型例题 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 解：点P在∠A的平分线上. 证明：连接AP, 由上题可得，PD=PF. ∴AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.） D E F A B C P N M 归纳： 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用途：判定一条射线是角平分线. 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 三、典型例题 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 用途：证线段相等. 1.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC. 证明：∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90°. ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴EB=FC. A B C D E F 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 【当堂检测】 【当堂检测】 2.已知，如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. 求证：AM平分∠DAB. 证明：过M作ME⊥AD于E， A M D C B E ∵∠B=∠C=90° ∴MC⊥DC，MB⊥AB 又∵DM平分∠ADC， ∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∵MC=MB，∴ME=MB ∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） 3.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC= ． 120° 【当堂检测】 解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴点O是△ABC三个内角的平分线的交点， 在△BCO中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°． 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. 【当堂检测】 4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上. G H M A B C F E D （3）在Rt△ADP和Rt△ACP中， 例2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积.（3）求∆PDB的周长. 又∵AC=BC,∴AD=BC C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB =BC+DB=AC+DB=AD+DB=AB=14 A B C P D = 解：(2) ∴Rt△ADP ≌ Rt△ACP(HL). ∴AD=AC. 三、典型例题 2.联系角平分线性质： 总结： 1.应用角平分线性质： 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 条件 存在角平分线 涉及距离问题 面积 周长 三、典型例题 【当堂检测】 5.已知：如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3，△ABC的周长为15，求S△ABC. 解：∵OB，OC，OA分别平分∠ABC，∠ACB和∠BAC，OD⊥BC，ON⊥AB，OM⊥AC ∴OD=ON=OM， ∴S△ABC=S△OBC