15.3 等腰三角形 第3课时课件2023-2024学年沪科版八年级上册数学

第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形 15.3.3 等腰三角形的判定 1 1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论 2.探索含30°角的直角三角形的性质 3.掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其应用 一、学习目标 在△ABC中，AB=AC，小明一不留神，将墨水洒在上面，只留下一条底边BC和底角∠B、∠C，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C 二、新课导入 A B C （一）等腰三角形的判定定理及其两个推论 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等， 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 三、概念剖析 已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC 证明：如图，作∠A的平分线AD. 在△ABD和△ACD中 ∠B =∠C ∠BAD =∠CAD AD =AD ∴△ABD ≌△ACD（AAS）． ∴AB=AC． A B C D 三、概念剖析 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等.（简称“等角对等边”） 应用格式： ∴AB=AC, ∵∠B=∠C． A B C ∴ △ABC是等腰三角形. 三、概念剖析 A B C 思考1：我们已经知道，如果一个三角形有三条边相等，那么它是等边三角形，那如果它的三个角相等，这个三角形会是什么三角形呢？如何证明呢？ 已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC. 证明：∵∠A=∠B， ∴ AC=BC（等腰三角形判定定理） 同理：AB=BC、AB=AC ∴ AB=AC=BC 三、概念剖析 等腰三角形的判定定理的推论1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 应用格式： A B C ∴AB=AC=BC, ∵∠A=∠B=∠C． ∴ △ABC是等边三角形. 三、概念剖析 思考2：如果一个等腰三角形的一个角等于60°，那它的另外两个角的 度数是多少？这个三角形有什么特别之处？ A B C 60° 已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.求证：∠A=∠B=∠C. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C. 又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C. 三、概念剖析 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. ∴∠A=∠B=∠C=60° 应用格式： A B C 60° ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形. 等腰三角形的判定定理的推论2： 三、概念剖析 A B C E （ （ 1 2 D ∴AB=AC（等角对等边）， ∴△ABC是等腰三角形． ∴∠B=∠C， 又∵∠1=∠2， ∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， 解：∵AD∥BC， 结论：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形 是等腰三角形． 例1.如图,∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2，AD∥BC．求证:△ABC是等腰三角形. 典型例题 1.如图，∠A=36°，∠C=72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（ 　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 B 【当堂检测】 例2.如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A=∠B=∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. ∴ ∠A=∠ADE=∠AED. ∴ △ADE是等边三角形. 典型例题 2.已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．求证：△OCD是等边三角形． 解：∵△ABO是等边三角形， ∵∠COD=∠AOB=60°， ∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠B=∠AOB=60°， ∴△OCD是等边三角形． ∴∠C=∠D=∠COD， 【当堂检测】 三、概念剖析 (二)含30°角的直角三角形的性质 思考：画一个等边三角形ABD，作∠BAD的角平分线，交BD于点C,则∠BAC、∠DAC 等于多少？BC与AB有怎样的数量关系？CD与AD呢？试说明理由. 解：∠BAC=∠DAC=30°，证明如下： ∵△ABD是一个等边三角形， ∴∠A=60° AB=AD，∠B=∠D，又AC=AC, 故Rt△ABC≌RtADC，∴BC=CD，∠BAC=∠DAC=30° ∴BC=CD= AB，CD也等于 AD. 三、概念剖析 讨论：经过上面的证明，你能得到什么结论？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一