15.2 线段的垂直平分线课件2023-2024学年沪科版八年级上册数学

第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线 1 1.能够利用尺规作图作一条已知线段的垂直平分线,并能证明它的正确性； 2.理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理； 3.知道三角形三边的垂直平分线的交点的性质. 一、学习目标 二、新课导入 如图，A、B、C三个村庄合建一所学校，要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址. A B C · · · 三、概念剖析 怎样作出线段的垂直平分线？有哪几种作法？ 方法一：用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线. （一）线段垂直平分线的画法 A B O 三、概念剖析 方法二：通过折纸可以作出线段的垂直平分线 A A' (A’) O O A A' 直线 就是线段的垂直平分线呢？ 三、概念剖析 在方法二的折痕上取任意一点P，连接PA，PB，再折叠，看能得到什么结论？ 结论：PA与PB重合,即PA=PB A B P C B 三、概念剖析 方法三：用尺规作图 A B E F O 作法： 2.过E，F两点作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线. 1.分别以点A，B为圆心，大于 AB为半径（为什么？）画弧交于E，F. 三、概念剖析 （二）线段垂直平分线的性质 已知：如图，直线PO是线段AB的垂直平分线，直线PO与线段AB交于点O, 求证：PA=PB A B P O 证明：∵PO垂直平分AB ∴∠POA=∠POB=90°，OA=OB 在△PAO与△PBO中 OP=OP(公共边） ∠POA=∠POB OA=OB ∴△PAO≌△PBO（SAS） ∴PA=PB 三、概念剖析 线段的垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.（定理1） 几何语言:∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB ∵ MN⊥AB于C，AC=BC，点P在MN上， ∴PA=PB N A B P M 或 C 三、概念剖析 线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（定理2） 逆命题 例1：如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB. 分析：(1)用尺规作图画出线段AB的垂直平分线. (2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质即可证明． M N A B l 四、典型例题 四、典型例题 M N A B l P 解：(1)如图所示： (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB. 解：(2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB. 四、典型例题 M N A B l P 归纳： 用尺规作线段AB的垂直平分线的步骤： 四、典型例题 2.过E，F两点作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线. 1.分别以点A，B为圆心，大于 AB为半径，画弧交于E，F. A B E F O 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 1.如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址. 点P为校址. A B C · · · P · 解：如图: 【当堂检测】 【当堂检测】 2.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为 . 5 解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点， ∴PB=PA=5． P A B C D 【当堂检测】 解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm， 又∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm. ∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35-20＝15(cm). 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 例2：已知:如图△ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P. 求证:PA=PB=PC. ∴PA=PB=PC. A C B M P N M' N' 证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上,点P在线段BC的垂直平分线上(已知) ∴PA=PB ,PB=PC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 四、典型例题 总结：在△ABC中,若AB、BC的垂直平分线相交于点P，则点P也在AC的垂直平分线上.