专题4.1数列的概念（八个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题4.1数列的概念 知识点一 数列的概念与表示 1.数列的概念 （1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列. （2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项. （3）分类: 若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列 2.数列的表示方法 （1）一般形式:数列的一般形式是简记为. （2）其他方法:解析式法、表格法、图象法. 3.数列的通项公式 （1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. （2）数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线. 4.数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值. 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点二 数列的递推公式 1.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的任意一项 给出n的值,可求出数列中的第n项 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 2.数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 重难点1数列的概念及分类 1．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列 C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关 2．（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 3．下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是 ．（填编号） 4．给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列为 ；摆动数列为 ；常数列为 ．(填序号) 5．下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)2017，2018，2019，2020，2021； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)9，9，9，9，9，9. 重难点2观察法求通项公式 6．在数列1，2，，，，中，是这个数列的（    ） A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项 7．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（    ） A．1012 B．1016 C．1912 D．1916 8．观察数列 ，，，，，，，，，，则该数列的第 项等于 （    ） A． B． C． D． 9．某种细胞分裂时，由 个分裂成 个， 个分裂成 个，，这样一个细胞分裂 次以后，得到的细胞数是个． 10．根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式． (1)   (2)   11．观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)（    ），7，12，（    ），22，27，…； (2)，，（    ），，，，（    ），…； (3)1，，（    ），2，，（    ），，…； (4)，，（    ），，…． 重难点3数列中某项的求解与判断 12．数列1，，，…的通项公式可能