14.2.1平方差公式 教案-2023-2024学年人教版数学八年级上册

——以初中数学《平方差公式》一课为例 本节内容主要研究的是平方差公式的推导和应用。平方差公式是学生学习了整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在已经掌握了单项式乘法、多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了方法，同时也为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有承上启下的作用，是最基本、用途最广泛的公式之一。 教学目标 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。 教学重点 1、 学会平方差公式的推导和应用； 2、 理解和掌握平方差公式，并能灵活运用公式进行简单运算。 教学难点 能灵活运用公式进行运算。 教学用具 PPT课件 教学过程 1、 创设情景，发现新知： 师：周末小明去商店买了单价是9.8元／千克的桔子10.2千克，售货员刚拿起计算器，小明就说应付"99.96元，不用算啦，不会错的”;售货员还是算了一遍，结果与小明说出的结果相同。售货员惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快?”小明说：“过奖了，我只不过是利用了在数学上刚学过的一个公式而已。”你知道小明用的是一个什么样的公式吗？ 设计意图：从生活中的实例引出新课，可以让学生感受“数学源于生活，用于生活”，不仅激发学生的求知兴趣，又为平方差公式的引入服务，刺激学生主动思考，提出问题。 2、 合作探究，获得新知： 1、发现规律： 师：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (x+1)(x-1) = (m+2)(m-2) = (2x+1)(2x-1) = 设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式。 2、 归纳公式： 学生通过自主探究、合作交流，发现规律：式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出： 。 设计意图：在学生已掌握的多项乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然合理。让学生经历具体——抽象的过程。即经历观察、比较、抽象、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法：“具体——抽象”。 师：你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。 设计意图：鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力。 3、剖析公式，揭示本质 师：平方差公式的结构特征是什么？ 左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即a2−b2 归纳得出：、可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式。 设计意图：通过观察平方差公式，体验公式的简洁性,并通过分析公式的本质特征掌握公式。在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。 4、数形结合，几何说理 活动探究：将边长为a的正方形，在拐角处剪下一个边长为b的正方形，请将剩下的部分剪拼成一个长方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系 。  (a+b)(a−b)=a2−b2 设计意图：通过学生小组合作，利用割补法完成剪拼活动,根据图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证平方差公式的正确性,渗透数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系，引导学生学会从多角度、多方面来思考问题。 5、应用公式、巩固新知 例1 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (b+2a)(－b+2a)； (3) (-x+2y)(-x-2y). 设计意图：让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式表示公式中的a, 哪个数或式表示公式中的b，并运用公式进行计算。 例2 计算: （1） 10.2×9.8； （2）(y+2) (y-2) - (y-1) (y+5). 设计意图：呼应情境，解惑传道，解答学生心中的疑惑，让学生体会到平方差公式的威力。把两数相乘转化成两数和与这两数差的乘积形式，此题体现了等价转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项